Wie finde ich eine gute Passform für ein halbsinusförmiges Modell in R?

Ich möchte annehmen, dass die Meeresoberflächentemperatur der Ostsee Jahr für Jahr gleich ist, und dies dann mit einem Funktions- / Linearmodell beschreiben. Die Idee, die ich hatte, war, einfach das Jahr als Dezimalzahl (oder num_months / 12) einzugeben und herauszufinden, wie hoch die Temperatur zu dieser Zeit sein sollte. Wenn es in R in die Funktion lm () geworfen wird, erkennt es keine sinusförmigen Daten und erzeugt nur eine gerade Linie. Also habe ich die sin () - Funktion in eine I () - Klammer gesetzt und ein paar Werte ausprobiert, um die Funktion manuell anzupassen, und das kommt meinem Wunsch sehr nahe. Aber das Meer erwärmt sich im Sommer schneller und kühlt sich dann im Herbst langsamer ab ... Das Modell ist also im ersten Jahr falsch, wird dann nach ein paar Jahren korrekter, und in Zukunft wird es wahrscheinlich auch mehr und wieder mehr falsch.

Wie kann ich R veranlassen, das Modell für mich zu schätzen, damit ich selbst keine Zahlen erraten muss? Der Schlüssel hier ist, dass ich möchte, dass es Jahr für Jahr die gleichen Werte liefert und nicht nur für ein Jahr korrekt ist. Wenn ich mehr über Mathematik wüsste, könnte ich es vielleicht als etwas wie Poisson oder Gaußsches statt Sünde () ansehen, aber ich weiß auch nicht, wie ich das machen soll. Jede Hilfe, um einer guten Antwort näher zu kommen, wäre sehr dankbar.

Hier sind die Daten, die ich verwende, und der Code, um die bisherigen Ergebnisse anzuzeigen:

# SST from Bradtke et al 2010
ToY <- c(1/12,2/12,3/12,4/12,5/12,6/12,7/12,8/12,9/12,10/12,11/12,12/12,13/12,14/12,15/12,16/12,17/12,18/12,19/12,20/12,21/12,22/12,23/12,24/12,25/12,26/12,27/12,28/12,29/12,30/12,31/12,32/12,33/12,34/12,35/12,36/12,37/12,38/12,39/12,40/12,41/12,42/12,43/12,44/12,45/12,46/12,47/12,48/12)
Degrees <- c(3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5)
SST <- data.frame(ToY, Degrees)
SSTlm <- lm(SST$Degrees ~ I(sin(pi*2.07*SST$ToY)))
summary(SSTlm)
plot(SST,xlim=c(0,4),ylim=c(0,17))
par(new=T)
plot(data.frame(ToY=SST$ToY,Degrees=8.4418-6.9431*sin(2.07*pi*SST$ToY)),type="l",xlim=c(0,4),ylim=c(0,17))

Es kann mit linearer Regression erfolgen -

Sie brauchen nur einen und einen Cosinus- Term für jede Frequenz.$\sin$$\cos$

Der Grund, warum Sie in einer linearen Regression einen and cos- Term verwenden können, um die Saisonalität mit jeder Amplitude und Phase zu behandeln, liegt in der folgenden trigonometrischen Identität :$\sin$$\cos$

Eine 'allgemeine' Sinuswelle mit mit Amplitude und der Phase φ , A sin ( x + φ ) , kann als Linearkombination a sin x + b cos x geschrieben werden, wobei a und b so sind, dass A = $A$$\varphi$$A \sin (x + \varphi)$$a\sin x+b\cos x$$a$$b$ undsinφ=$A=\sqrt{a^2+b^2}$ . Mal sehen, dass die beiden gleichwertig sind:$\sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Hier ist das "Grundmodell":

 SSTlm <- lm(Degrees ~ sin(2*pi*ToY)+cos(2*pi*ToY),data=SST)
 summary(SSTlm)

[snip]

Coefficients:
                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)              8.292      0.135   61.41   <2e-16 *** 
sin(2 * pi * ToY)       -5.916      0.191  -30.98   <2e-16 ***  
cos(2 * pi * ToY)       -4.046      0.191  -21.19   <2e-16 *** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.9355 on 45 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.969,      Adjusted R-squared: 0.9677 
F-statistic: 704.3 on 2 and 45 DF,  p-value: < 2.2e-16 

 plot(Degrees~ToY,ylim=c(1.5,16.5),data=SST)
 lines(SST$ToY,SSTlm$fitted,col=2)

Edit: Wichtiger Hinweis - die term funktioniert, weil die Periode der Funktion so eingestellt wurde, dass eine Periode = 1 Einheit von t ist . Wenn sich die Periode von 1 unterscheidet, sagen wir, die Periode ist ω , dann brauchen Sie ( 2 π / ω $2\pi\,t$$t$$\omega$ statt.$(2\pi/\omega)\, t$

Hier ist das Modell mit der zweiten Harmonischen:

 SSTlm2 <- lm(Degrees ~ sin(2*pi*ToY)+cos(2*pi*ToY)
                        +sin(4*pi*ToY)+cos(4*pi*ToY),data=SST)
 summary(SSTlm2)

[snip]

Coefficients:
                  Estimate Std. Error  t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        8.29167    0.02637  314.450  < 2e-16 ***  
sin(2 * pi * ToY) -5.91562    0.03729 -158.634  < 2e-16 ***  
cos(2 * pi * ToY) -4.04632    0.03729 -108.506  < 2e-16 ***  
sin(4 * pi * ToY)  1.21244    0.03729   32.513  < 2e-16 ***  
cos(4 * pi * ToY)  0.33333    0.03729    8.939 2.32e-11 ***  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.1827 on 43 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9989,     Adjusted R-squared: 0.9988 
F-statistic:  9519 on 4 and 43 DF,  p-value: < 2.2e-16 

 plot(Degrees~ToY,ylab="Degrees",xlab="ToY",ylim=c(1.5,16.5),data=SST)
 lines(SSTlm2$fitted~ToY,col=2,data=SST)

... und so weiter, mit 6*pi*ToYusw. Wenn die Daten ein kleines bisschen Rauschen enthalten, würde ich wahrscheinlich mit diesem zweiten Modell aufhören.

Mit genügend Begriffen können Sie asymmetrische und sogar gezackte periodische Sequenzen genau anpassen, aber die resultierenden Anpassungen können "wackeln". Hier ist eine asymmetrische Funktion (es ist ein Sägezahn - ), die zu einer skalierten Version Ihrer periodischen Funktion hinzugefügt wurde, mit einer dritten (roten) und einer vierten (grünen) Harmonischen. Die grüne Anpassung ist im Durchschnitt etwas enger aber "wackelig" (selbst wenn die Anpassung jeden Punkt durchläuft, kann die Anpassung zwischen den Punkten sehr wackelig sein).

$\cos$$\sin$

Wenn Sie Anpassungen wünschen, die glatter sind, als dies bei nicht glatten Serien der Fall ist, sollten Sie sich mit periodischen Spline- Anpassungen befassen .

Ein weiterer Ansatz besteht darin, saisonale Dummies zu verwenden, aber der Sin / Cos-Ansatz ist häufig besser, wenn es sich um eine reibungslose periodische Funktion handelt.

Ein derartiger Ansatz zur Saisonalität kann sich auch an Situationen anpassen, in denen sich die Saisonalität ändert, z.

Der hier beschriebene lineare Modellansatz ist zwar einfach anzuwenden, ein Vorteil des nichtlinearen Regressionsansatzes von @ COOLSerdash besteht jedoch darin, dass er eine viel größere Bandbreite von Situationen abdeckt - Sie müssen nicht viel ändern, bevor Sie sich in einer linearen Situation befinden Eine Regression ist nicht mehr geeignet, aber es können immer noch nichtlineare kleinste Quadrate verwendet werden (ein unbekannter Zeitraum wäre ein solcher Fall).

Die Temperatur, die Sie in Ihrer Frage angeben, wiederholt sich genau jedes Jahr. Ich vermute, das sind keine wirklich gemessenen Temperaturen über vier Jahre. In Ihrem Beispiel benötigen Sie kein Modell, da sich die Temperaturen genau wiederholen. Ansonsten könnten Sie die nlsFunktion verwenden, um eine Sinuskurve anzupassen:

ToY <- c(1/12,2/12,3/12,4/12,5/12,6/12,7/12,8/12,9/12,10/12,11/12,12/12,13/12,14/12,15/12,16/12,17/12,18/12,19/12,20/12,21/12,22/12,23/12,24/12,25/12,26/12,27/12,28/12,29/12,30/12,31/12,32/12,33/12,34/12,35/12,36/12,37/12,38/12,39/12,40/12,41/12,42/12,43/12,44/12,45/12,46/12,47/12,48/12)
Degrees <- c(3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5,3,2,2.2,4,7.6,13,16,16.1,14,10.1,7,4.5)
SST <- data.frame(ToY, Degrees)

par(cex=1.5, bg="white")
plot(Degrees~ToY,xlim=c(0,4),ylim=c(0,17), pch=16, las=1)

nls.mod <-nls(Degrees ~ a + b*sin(2*pi*c*ToY), start=list(a = 1, b = 1, c=1))

co <- coef(nls.mod) 
f <- function(x, a, b, c) {a + b*sin(2*pi*c*x) }

curve(f(x, a=co["a"], b=co["b"], c=co["c"]), add=TRUE ,lwd=2, col="steelblue")

Die Passform ist aber vor allem zu Beginn nicht sehr gut. Es scheint, dass Ihre Daten durch eine einfache Sinuskurve nicht angemessen modelliert werden können. Vielleicht reicht eine komplexere trigonometrische Funktion aus?

nls.mod2 <-nls(Degrees ~ a + b*sin(2*pi*c*ToY)+d*cos(2*pi*e*ToY), start=list(a = 1, b = 1, c=1, d=1, e=1))

co2 <- coef(nls.mod2) 
f <- function(x, a, b, c, d, e) {a + b*sin(2*pi*c*x)+d*cos(2*pi*e*x) }

curve(f(x, a=co2["a"], b=co2["b"], c=co2["c"], d=co2["d"], e=co2["e"]), add=TRUE ,lwd=2, col="red")

Die rote Kurve passt besser zu den Daten. Mit der nlsFunktion können Sie das Modell eingeben, das Sie für angemessen halten.

Oder vielleicht könnten Sie das forecastPaket nutzen. Im folgenden Beispiel habe ich angenommen, dass die Zeitreihe im Januar 2010 gestartet wurde:

library(forecast)

Degrees.ts <- ts(Degrees, start=c(2010,1), frequency=12)

Degree.trend <- auto.arima(Degrees.ts)

degrees.forecast <- forecast(Degree.trend, h=12, level=c(80,95), fan=F)

plot(degrees.forecast, las=1, main="", xlab="Time", ylab="Degrees")

Da die Daten deterministisch sind, werden keine Vertrauensbereiche angezeigt.