Was bedeutet hochgestellt in

Im Zusammenhang mit der wahrscheinlichkeitsbasierten Inferenz habe ich einige Notationen bezüglich der interessierenden Parameter gesehen, die ich etwas verwirrend fand.

Zum Beispiel Notation wie $p_{\theta}(x)$ und ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$ .

Welche Bedeutung hat der Parameter ( $\theta$ ) in der obigen Indexnotation? Mit anderen Worten, wie soll es gelesen werden?

Meine erste Annahme war, dass es einfach "mit Parameter $\theta$ " bedeutete; Zum Beispiel würde für $p_{\theta}(x)$ lauten:

"Die Wahrscheinlichkeitsdichte von $x$ mit dem Parameter $\theta$ ."

Dies wahrscheinlich ist jedoch nicht korrekt , weil und im allgemeinen ist nicht eine Verteilung (dh es integriert nicht zur Einheit); daher kann es keine Dichte sein, oder? $p_{\theta}(x) = L(\theta)$ $L(\theta)$

Außerdem bin ich im Fall von nicht sicher, was sich relativ zu ändert (dh wenn der Index thgr; weggelassen wird). ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$ ${\mathbb E}\left[(S(\theta)\right]$ $\theta$

Oben bezeichnen und die Bewertungsfunktion bzw. die Wahrscheinlichkeitsfunktion. $S(\theta)$ $L(\theta)$

— Hugo
quelle

ist eine Wahrscheinlichkeit (oder Dichte) für jedes

was nicht impliziert, dass die Wahrscheinlichkeit eine Dichtefunktion als Funktion von

p_{θ}

$p_\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— Stéphane Laurent

Danke für deine Antwort!

Also ist

p_{θ} (x) is equivalent to p (x; θ)

$p_{\theta}(x) \text{ is equivalent to } p(x;\theta)$

Daraus kann ich davon ausgehen , dass:

p_{θ} (x) = L (θ) but \int p_{θ} (x) d x = 1 \neq \int L (θ) d θ

$p_{\theta}(x) = L(\theta) \text{ but } \int p_{\theta}(x) dx = 1 \neq \int L(\theta) d\theta$

Und auch, dass

sich auf die Erwartung von

für jedes

bezieht, so dass:

E_{θ} (f (x))

${\mathbb E}_{\theta}(f(x))$

x

$x$

θ

$\theta$

E_{θ} (f (x)) = \int f (x) p_{θ} (x) d x

${\mathbb E}_{\theta}(f(x)) = \int f(x)p_{\theta}(x)dx$

— Hugo

Normalerweise repräsentiert die Notation

eine Erwartung in Bezug auf die Zufallsvariable

; Wenn Sie sich in einer Situation befinden, in der es sinnvoll ist,

als Zufallsvariable zu betrachten (z. B. einen Bayes'schen Kontext), ist dies die Absicht. Wenn Sie sich nicht in einer Situation befinden, in der

als Zufallsvariable angesehen werden könnte, würde @ Hugos Kommentar die Bedeutung bedeuten, die ich als nächstes betrachten würde.

E_{X} ()

$\text{E}_X()$

X

$X$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— Glen_b -Rate State Monica

@ Hugo Ja du verstehst. Streng genommen sollten wir immer die Erwartung

wobei

die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit ist, aber dies ist nutzlos, wenn es nur ein

. Hier

ist eine Abkürzung für

. Die von Geln_b erwähnte Notation

ist für andere Kontexte geeignet, aber normalerweise mag ich diese Notation nicht.

E_{P}

$\mathbb{E}_{P}$

P

$P$

P

$P$

E_{θ}

$\mathbb{E}_\theta$

E_{p_{θ}}

$\mathbb{E}_{p_{\theta}}$

E_{X}

$\mathbb{E}_X$

— Stéphane Laurent

Dies wird meistens in Kommentaren beantwortet, die ich hier zusammenfassen werde.

$p_\theta(x)$ bedeutet dasselbe wie $p(x; \theta)$ , es ist eine Abkürzung. Dies ist eine Dichte in Bezug auf $x$ , nicht in Bezug auf $\theta$ . Also, während notwendigerweise $\int p(x;\theta)\; dx = 1$ folgt nicht, dass $\int p(x;\theta)\; d\theta=1$ , es könnte alles sein, einschließlich $\infty$ .

So, ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$ ist die Erwartung von $S(\theta)$ in Bezug auf die Verteilung $p_\theta(x)$ . Der Index $\theta$ dient der Klarheit, nicht weil er notwendig ist, daher hat ${\mathbb E}\left[(S(\theta)\right]$ die gleiche Bedeutung. Die Verteilung, für die wir die Erwartung berechnen, sollte aus dem Kontext klar sein oder irgendwie angegeben sein (wie durch ein Index).

— kjetil b halvorsen
quelle