Erwartete Anzahl von Duplikaten (Dreifach usw.) beim Zeichnen mit Ersatz

Ich habe folgendes Problem:

Ich habe 100 einzigartige Gegenstände (n) und wähle nacheinander 43 (m) aus (mit Ersatz).

Ich muss nach der erwarteten Anzahl von Unikaten (nur einmal ausgewählt, k = 1), Doppel (genau zweimal ausgewählt k = 2), Dreifachen (genau k = 3), Quads usw. lösen.

Ich konnte viele Ergebnisse zur Wahrscheinlichkeit finden, dass es mindestens ein Doppel gibt (Geburtstagsparadoxon), aber nicht zur erwarteten Anzahl von Paaren in der Bevölkerung.

probability expected-value birthday-paradox

— Kaitlyn K.
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Wäre eine Monte-Carlo-Schätzung für Sie nützlich oder benötigen Sie die Antwort in geschlossener Form?

— David J. Harris

Ich würde eine geschlossene Formel bevorzugen, damit ich sie leicht auf verschiedene Werte von n, m und k anwenden kann.

— Kaitlyn K

$i^{th}$ $\text{Binom}(m, \, 1/n)$

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

Sie können den numerischen Wert in R mit dem Befehl n * dbinom (k, m, 1 / n) erhalten.

— Stefan Wager
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Kann diese Formel für ak = 0 oder 1 verwendet werden?

— Kaitlyn K

Ja, kann es. Mit k = 0 können Sie es so interpretieren, dass "wie viele Punkte unter den m ausgewählten nicht angezeigt werden".

— Stefan Wager

Diese Ereignisse sind jedoch nicht unabhängig. Wenn beispielsweise Element 1 m-mal erscheint, können niemals andere Elemente erscheinen. Sie können die Ps nicht einfach addieren.

— Asterix314