Erwartung des Produkts von Gaußschen Zufallsvariablen

Angenommen, wir haben zwei Gaußsche Zufallsvektoren es ein bekanntes Ergebnis für die Erwartung ihres Produkts ohne Unabhängigkeit anzunehmen? $p(x_1) = N(0,\Sigma_1), p(x_2) = N(0,\Sigma_2)$ $E[x_1x_2^T]$

random-variable normal-distribution expected-value

@ asd123 1) Wenn Sie

schreiben

Σ

$\Sigma$ , deutet dies darauf hin, dass

x_{1}

$x_1$ und

x_{2}

$x_2$ Vektoren sind. In diesem Fall wird das Produkt

x_{1} x_{2}

$x_{1}x_{2}$ nicht als geschrieben definiert (es sei denn,

n = 1

$n=1$ ). Meinst du

x_{1}^{T} x_{2}

$x_{1}^{\mathrm{T}}x_{2}$ ? Wenn nicht, was meinst du? 2) Ohne Unabhängigkeit ist es nicht unbedingt richtig, dass

(x_{1}, x_{2})

$(x_{1},x_{2})$ gemeinsam normal ist. Es scheint also, dass Sie mehr Informationen über ihre gemeinsame Verteilung (und / oder Varianz / Kovarianz-Matrix) benötigen, bevor Sie etwas Bestimmtes sagen können .

Ja, ich habe gemeint, dass

x_{1}

$x_1$ und

x_{2}

$x_2$ Vektoren sind. Ich weiß auch, dass sie gemeinsam Gaußsch sind. Hilft das?

@ asd123 teilweise ja, denn dann sind

x_{1}

$x_1$ und

x_{2}

$x_2$ genau dann unabhängig, wenn sie nicht korreliert sind (siehe Varianz / Kovarianz-Matrix von

x^{T} = (x_{1}^{T}, x_{2}^{T})

$x^{\mathrm{T}}=(x_{1}^{\mathrm{T}},x_{2}^{\mathrm{T}})$ . Wenn die Off-Diagonale Blockmatrizen sind Null, dann sind sie nicht korreliert. Wenn sie unabhängig sind, können Sie einfach das obige Punktprodukt ausschreiben, die erwarteten Werte annehmen und schon sind Sie fertig. Wenn sie nicht unabhängig sind, wissen Sie dann etwas über die nicht diagonalen Blockeinträge?

Übrigens, wenn das Obige wirklich das ist, was Sie meinen, dann empfehle ich Ihnen, den Titel in "Erwartung des Punktprodukts von Gaußschen Zufallsvektoren" zu ändern.

Entschuldigung, ich wollte die andere Variable transponieren. Das Ergebnis ist also eine Matrix. Dh (Mx1) x (1xM) = (MxM)

Antworten:

Ja, es gibt ein bekanntes Ergebnis. Basierend auf Ihrer Bearbeitung können wir uns zunächst auf einzelne Einträge des Arrays . Ein solcher Eintrag ist das Produkt zweier Variablen mit einem Mittelwert von Null und endlichen Varianzen, beispielsweise und . Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung impliziert, dass der absolute Wert der Erwartung des Produkts nicht überschreiten darf . Tatsächlich ist jeder Wert im Intervall $E[x_1 x_2^T]$ $\sigma_1^2$ $\sigma_2^2$ $|\sigma_1 \sigma_2|$ ist möglich, weil es für eine binormale Verteilung auftritt. Daher muss der Eintrag von kleiner oder gleich $[-|\sigma_1 \sigma_2|, |\sigma_1 \sigma_2|]$ $i,j$ $E[x_1 x_2^T]$ im absoluten Wert. $\sqrt{\Sigma_{1_{i,i}} \Sigma_{2_{j,j}}}$

Wenn wir nun annehmen, dass alle Variablen normal sind und dass multinormal ist, gibt es weitere Einschränkungen, da die Kovarianzmatrix von positiv semidefinit sein muss. Anstatt auf den Punkt einzugehen, werde ich veranschaulichen. Angenommen, hat zwei Komponenten und und hat eine Komponente . Lassen Sie und Einheitsvarianz und Korrelation (also spezifizieren $(x_1; x_2)$ $(x_1; x_2)$ $x_1$ $x$ $y$ $x_2$ $z$ $x$ $y$ $\rho$ ) und angenommen, hat eine Einheitsvarianz ( ). Die Erwartung von sei und die von sei . Wir haben festgestellt, dass und . Es sind jedoch nicht alle Kombinationen möglich: Zumindest kann dieDeterminante der Kovarianzmatrix von nicht negativ sein. Dies legt die nicht triviale Bedingung fest $\Sigma_1$ $z$ $\Sigma_2$ $x z$ $\alpha$ $y z$ $\beta$ $|\alpha| \le 1$ $|\beta| \le 1$ $(x_1; x_2)$

1 - α^{2} - β^{2} + 2 α β ρ - ρ^{2} \geq 0.

$1-\alpha ^2-\beta ^2+2 \alpha \beta \rho -\rho ^2 \ge 0.$

Für jedes dies eine Ellipse (zusammen mit ihrem Inneren), die in das Quadrat . $-1 \lt \rho \lt 1$ $\alpha, \beta$ $[-1, 1] \times [-1, 1]$

Um weitere Einschränkungen zu erhalten, sind zusätzliche Annahmen zu den Variablen erforderlich.

Auftragung des zulässigen Bereichs $(\rho, \alpha, \beta)$

Alt-Text

— whuber
quelle

Es gibt keine starken Ergebnisse und es hängt nicht von der Gaußschen Beziehung ab. In dem Fall, in dem und Skalare sind, fragen Sie, ob die Kenntnis der Varianz der Variablen etwas über ihre Kovarianz impliziert. Whubers Antwort ist richtig. Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung und die positive Semidefinitität beschränken die möglichen Werte. $x_1$ $x_2$

Das einfachste Beispiel ist, dass die quadratische Kovarianz eines Variablenpaares niemals das Produkt ihrer Varianzen überschreiten kann. Für Kovarianzmatrizen gibt es eine Verallgemeinerung.

Betrachten Sie die blockpartitionierte Kovarianzmatrix von , $[x_1 \ x_2]$

[\begin{array}{cc} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{array}] .

$\left[ \begin{array}{cc} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{array} \right].$

‖ Σ_{12} ‖_{q}^{2} \leq ‖ Σ_{11} ‖_{q} ‖ Σ_{22} ‖_{q}

$\Vert \Sigma_{12} \Vert_q^2 \leq \Vert \Sigma_{11} \Vert_q \Vert \Sigma_{22} \Vert_q$

Σ_{11} - Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} Σ_{21}

$\Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21}$

Σ_{22}^{- 1}

$\Sigma_{22}^{-1}$

Σ_{22}

$\Sigma_{22}$

— vqv
quelle

$(X,Y)$ $\rho$

${\mathrm E} XY= cov(X,Y)= \rho\sigma_X\sigma_Y$

$x_1x_2^T$ $XY$

— Ronaf
quelle

| ρ | \leq 1

$|\rho| \le 1$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

Σ_{12}

$\Sigma_{12}$

Σ_{12}

$\Sigma_{12}$