Varianz des Produkts mehrerer Zufallsvariablen

Wir kennen die Antwort für zwei unabhängige Variablen:

V a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - (E (X Y))^{2} = V a r (X) V a r (Y) + V a r (X) (E (Y))^{2} + V a r (Y) (E (X))^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

Wenn wir jedoch das Produkt von mehr als zwei Variablen nehmen, , was wäre die Antwort in Bezug auf den Abweichungen und die erwarteten Werte der einzelnen Variablen? ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— damla
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eine Zufallsvariable ist und (unter der Annahme, dass alle

unabhängig sind) unabhängig von

, wird die Antwort induktiv erhalten: Es wird nichts Neues benötigt. Damit dies nicht zu mysteriös erscheint, unterscheidet sich die Technik nicht davon, darauf hinzuweisen, dass Sie, da Sie mit einem Taschenrechner zwei Zahlen hinzufügen können, durch wiederholtes Hinzufügen von

Zahlen mit demselben Taschenrechner weitere Zahlen hinzufügen können .

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— Whuber

Könnten Sie einen Beweis für Ihre angezeigte Gleichung schreiben ? Ich bin , um herauszufinden , neugierig , was mit dem passiert

Begriff, sollten Sie einige Begriffe beteiligt sind ,

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— Dilip Sarwate

@ DilipSarwate, ich vermute, diese Frage geht stillschweigend davon aus, dass

und

unabhängig sind. Die OP-Formel ist immer dann korrekt, wenn sowohl

als auch

nicht korreliert sind. Meine Antwort auf eine verwandte Frage finden Sie hier .

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— Makro

@Macro Mir sind die Punkte bekannt, die Sie ansprechen. Was ich versuchte, das OP zu verstehen und / oder für sich selbst herauszufinden, war das für unabhängige Zufallsvariablen, so wie sich

vereinfacht.

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

vereinfachtzu

E [X^{2} Y^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) (σ_{Y}^{2} + μ_{Y}^{2}),

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] = \prod_{i = 1}^{n} (σ_{X_{i}}^{2} + μ_{X_{i}}^{2})

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$ Ich denke, dies ist ein direkterer Weg, um zum Endergebnis zu gelangen, als die induktive Methode, auf die Whuber hingewiesen hat.

— Dilip Sarwate

@ DilipSarwate, schön. Ich schlage vor, dass Sie das als Antwort posten, damit ich es unterstützen kann!

— Makro

$X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} var (X_{1} \dots X_{n}) & = E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] - {(E [X_{1} \dots X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2} \dots X_{n}^{2}] - {(E [(X_{1}] \dots E [X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] - (E [X_{1}])^{2} \dots (E [X_{n}])^{2} \\ = \prod_{i = 1}^{n} (var (X_{i}) + (E [X_{i}])^{2}) - \prod_{i = 1}^{n} {(E [X_{i}])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— Dilip Sarwate
quelle

Danke vielmals! Ich weiß das wirklich zu schätzen. Ja, die Frage betraf unabhängige Zufallsvariablen.

— Damla

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

Ich habe die Frage auf einer neuen Seite veröffentlicht. Danke vielmals! stats.stackexchange.com/questions/53380/…

— damla

n

$n$

3

$3$