Ist die Probenkurtose hoffnungslos voreingenommen?

Ich betrachte die Stichproben-Kurtosis einer ziemlich verzerrten Zufallsvariablen, und die Ergebnisse scheinen inkonsistent zu sein. Um das Problem einfach zu veranschaulichen, habe ich mir die Beispielkurtose eines logarithmisch normalen Wohnmobils angesehen. In R (was ich langsam lerne):

library(moments); 

samp_size = 2048;
n_trial = 4096;

kvals <- rep(NA,1,n_trial); #preallocate
for (iii in 1:n_trial) {
    kvals[iii] <- kurtosis(exp(rnorm(samp_size)));
}
print(summary(kvals));

Die Zusammenfassung, die ich bekomme, ist

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  11.87   28.66   39.32   59.17   61.70 1302.00 

Laut Wikipedia sollte die Kurtosis für dieses logarithmisch normale Wohnmobil bei 114 liegen. Die Kurtosis der Probe ist eindeutig voreingenommen.

Bei einigen Nachforschungen stellte ich fest, dass die Probenkurtose bei kleinen Probengrößen voreingenommen ist. Ich habe den 'G2'-Schätzer verwendet, wie er im e1071Paket in CRAN bereitgestellt wird , und habe für diese Stichprobengröße sehr ähnliche Ergebnisse erhalten.

Die Frage : Welche der folgenden Aussagen charakterisieren, was los ist:

1. $1/\sqrt{n}$
2. Diese Implementierungen von Probe Kurtosis leiden unter numerischen Problemen , die durch korrigiert werden könnten , zB Terriberry Methode (in die gleichen Weise , dass Welford Methode bessere Ergebnisse als die naive Methode zur Stichprobenvarianz gibt).
3. Ich habe die Populationskurtose falsch berechnet. (Autsch)
4. Die Probenkurtose ist von Natur aus voreingenommen und kann bei so kleinen Probengrößen niemals behoben werden.

Es gibt eine Bias-Korrektur . Es ist nicht riesig. Ich glaube, dass die Stichprobenvarianz der Kurtosis proportional zum achten (!) Zentralmoment ist, was für eine logarithmische Normalverteilung enorm sein kann. Sie würden Millionen von Versuchen (oder weit mehr) in einer Simulation benötigen, um Verzerrungen zu erkennen, es sei denn, der Lebenslauf ist winzig. (Zeichnen Sie ein Histogramm von kvals, um zu sehen, wie außergewöhnlich schief sie sind.)

Die richtige Kurtosis liegt in der Tat bei 113.9364.

In Bezug auf den R-Stil kann es praktisch sein, die Simulation in eine Funktion zu kapseln, damit Sie die Stichprobengröße oder die Anzahl der Versuche leicht ändern können.

[Nur auf dem R-Stil - @whuber hat die Kurtsosis Q beantwortet]

Dies war etwas zu kompliziert, um in einen Kommentar einzusteigen. Für solche einfachen Schleifen wie die von Ihnen verwendete können wir den Vorschlag von @ whuber kombinieren, die Simulation in einer Funktion mit der replicate()Funktion zu kapseln . replicate()kümmert sich um die Zuordnung und führt die Schleife für Sie aus. Ein Beispiel ist unten angegeben:

require(moments)
foo <- function(size, trials, meanlog = 0, sdlog = 1) {
    replicate(trials,
              kurtosis(rlnorm(size, meanlog = meanlog, 
                              sdlog = sdlog)))
}

Wir benutzen es so:

> set.seed(1)
> out <- foo(2048, 10000)
> summary(out)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  10.93   28.77   39.99   62.53   62.58 1557.00

Beachten Sie, dass ich die rlnorm()Funktion verwende, um die logarithmische normale Zufallsvariable zu generieren. Es entspricht exp(rnorm())in Ihrer Schleife, verwendet jedoch das richtige Werkzeug, und wir erlauben unserer Funktion, benutzerdefinierte Parameter der Protokollnormalverteilung weiterzugeben.

> set.seed(123)
> exp(rnorm(1))
[1] 0.5709374
> set.seed(123)
> rlnorm(1)
[1] 0.5709374