Ist die Quadratwurzel einer positiven semidefiniten Matrix ein einzigartiges Ergebnis?

Ich versuche , eine Zeitreihe von zersetzen Beobachtungen in die Varianz-Kovarianz - Struktur und einer zufälligen Reihe .v c n × n ∑ $n$$\bf{\mathrm{v_c}}$$n \times n$$\sum$$\bf{\mathrm{v}}$

Ich kann also die Varianz-Kovarianz-Matrix aus der Autokorrelationsfunktion von . Dies wird eine Toeplitz-Matrix sein, die positiv semidefinit ist. Daher kann ich eine geeignete Matrix berechnen, um meine korrelierten Reihen in ein zufälliges Signal umzuwandeln. v c ∑ - $\sum$$\bf{\mathrm{v_c}}$$\sum^{-\frac{1}{2}}$

$\bf{\mathrm{v}} = \sum^{-\frac{1}{2}}\bf{\mathrm{v_c}}$

Ich kann dies mit der Funktion sqrt (m) in MATLAB tun , kann aber auch eine Cholesky-Faktorisierung der Varianz-Kovarianz-Matrix finden und diese verwenden, um die Korrelationen zu induzieren. Ich erhalte jedoch unterschiedliche (aber etwas ähnliche) Ergebnisse für die Zufallsreihen mit den Methoden sqrtm und Cholesky.

Ich habe mehrere Texte gelesen, um festzustellen, wie ich die Quadratwurzel verschiedener Matrizen ermitteln kann, und mich mit Eigenwertzerlegungsmethoden usw. befasst. Ich sehe, dass es unter bestimmten vorgeschriebenen Bedingungen nur einzigartige Lösungen gibt - aber ich gehe davon aus, dass diese einzigartigen Lösungen immer noch nur eine von vielen Wurzeln sind?

Meine Frage lautet: Gibt es eine Möglichkeit zu argumentieren, dass eine bestimmte Quadratwurzel einer anderen vorzuziehen ist? Wenn nicht, gibt es eine Möglichkeit, alle möglichen Lösungen zu extrahieren, so dass alle möglichen Zufallsfunktionen erhalten werden können?

Lassen Sie eine Matrix "Quadratwurzeln" und ; das ist,A $\mathbb{V}$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

Der Einfachheit halber sei angenommen , die ursprüngliche Matrix ist invertierbar (was positiv bestimmte unter den Annahmen entspricht). Dann müssen , und ihre Transponierungen auch invertierbar sein, weilA $\mathbb{V}$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

zeigt eine linke Umkehrung für , was bedeutet, dass invertierbar ist; Das gleiche Argument gilt natürlich für . Wir nutzen diese Umkehrungen, um zu schreibenA $\mathbb{A}^\intercal$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

Dies zeigt, dass eine orthogonale Matrix ist, . Die Menge solcher Matrizen bildet zwei glatte realen Verteilern der Dimension , wenn ist von . Geometrisch entsprechen orthogonale Matrizen Rotationen oder einer Reflexion, gefolgt von Rotationen, abhängig vom Vorzeichen ihrer Determinante.O O I = I n ( n - 1 ) / 2 V n $\mathbb{O=B^{-1}A}$$\mathbb{OO^\intercal=I}$$n(n-1)/2$$\mathbb{V}$$n$$n$

Wenn umgekehrt eine Quadratwurzel von , zeigen ähnliche (aber einfachere) Berechnungen, dass auch eine Quadratwurzel für jede orthogonale Matrix - und zwar spielt hier keine Rolle, ob invertierbar ist oder nicht.V A O O $\mathbb{A}$$\mathbb{V}$$\mathbb{AO}$$\mathbb{O}$$\mathbb{A}$

Es ist auch leicht zu erkennen, dass die Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix (ungleich ) die Quadratwurzel einer invertierbaren Matrix tatsächlich verändert. Immerhin impliziert sofort . Dies zeigt, dass die Quadratwurzeln von positiv-definierten Matrizen in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den orthogonalen Matrizen gebracht werden können.A O = A O = A - 1 A = $\mathbb{I}$$\mathbb{AO = A}$$\mathbb{O = A^{-1}A = I}$

Dies zeigt, dass Quadratwurzeln von positiv-definierten Matrizen nur bis zur Multiplikation mit orthogonalen Matrizen bestimmt werden. Für den semidefiniten Fall ist die Situation komplizierter, aber zumindest bewahrt die Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix die Eigenschaft, eine Quadratwurzel zu sein.

Wenn Sie zusätzliche Kriterien auf Ihre Quadratwurzel anwenden möchten, können Sie möglicherweise ein eindeutiges Kriterium identifizieren oder zumindest die Mehrdeutigkeit eingrenzen. Dies hängt von Ihren speziellen Vorlieben ab.