Ich habe die folgende Erläuterung dieser Frage und die Antwort des Kardinals im Allgemeinen Diskussionsforum der aktuellen Klasse für analytische Kombinatorik in Coursera veröffentlicht: "Anwendung von Potenzreihen zur Konstruktion einer Zufallsvariablen". Ich poste hier eine Kopie als Community-Wiki, um diese öffentlich und dauerhaft verfügbar zu machen.
Auf stat.stackexchange.com gab es eine interessante Frage und Antwort zu Potenzreihen: "Wie kann man eine nicht ganzzahlige Anzahl aufeinanderfolgender Bernoulli-Erfolge generieren?" Ich werde die Frage und die Antwort von Kardinal umschreiben.
Angenommen, wir haben eine möglicherweise unfaire Münze, die Köpfe mit der Wahrscheinlichkeit , und eine positive reelle Zahl α . Wie können wir ein Ereignis konstruieren, dessen Wahrscheinlichkeit p α ist ?pαpα
Wenn eine positive ganze Zahl wäre, könnten wir einfach die Münze werfenα mal werfen und das Ereignis annehmen, dass alle Würfe Köpfe waren. Wenn jedoch α nicht eine ganze Zahl ist, sagen wir 1 / 2 , dann bedeutet dies nicht Sinn machen, aber wir diese Idee verwenden könnenum den Fall zu verringerndass 0 < α < 1 . Wenn wir ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von p 3,5 konstruieren wollen, nehmen wir den Schnittpunkt unabhängiger Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von p 3 und p 0,5 .αα1/20<α<1p3.5p3p0.5
Wir können ein Ereignis mit jeder bekannten Wahrscheinlichkeit konstruieren . Um dies zu tun, können wir einen Strom von fairen Bits konstruieren, indem wir die Münze zweimal umwerfen und H T als 1 lesenp′∈[0,1]HT1 und als 0 , und ignorieren H H und T T . Wir vergleichen diesen Strom mit der binären Expansion von p ′ = 0. a 1 a 2 a 3 . . . 2TH0HHTTp′=0.a1a2a3...2. Der Fall, dass die erste Meinungsverschiedenheit darin besteht, dass die Wahrscheinlichkeit p 'hat . Wir kennen p α nicht , können dies also nicht direkt verwenden, aber es wird ein nützliches Werkzeug sein.ai=1p′pα
Die Hauptidee ist, dass wir die Potenzreihe für p α = ( 1 - q ) α = 1 - α q - α ( 1 - α ) verwenden möchten.pα=(1−q)α=1−αq−α(1−α)2q2−α(1−α)(2−α)3!q3−...wo . Wir können Ereignisse , die Wahrscheinlichkeiten sind konstruieren q n durch die Münzwurf n - mal und sehen , ob sie alle Schwänze sind, und wir können ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit erzeugen p ' q n durch die binären Ziffern des Vergleichen p ' mit einem fairen Bitstrom wie oben und Überprüfen, ob n Würfe alle Schwänze sind.p=1−qqnnp′qnp′n
Konstruieren Sie eine geometrische Zufallsvariable mit dem Parameter p . Dies ist die Anzahl der Schwänze vor dem ersten Kopf in einer unendlichen Folge von Münzwürfen. P ( G = n ) = ( 1 - p ) n p = q n p . (Einige Leute verwenden eine Definition, die sich um 1 unterscheidet .)GpP(G=n)=(1−p)np=qnp1
Bei einer Sequenz , , wir können t G produzieren : Wirf die Münze bis zum ersten Kopf, und wenn es G gibtt0,t1,t2,...tGG tails vor dem ersten Kopf, nehmen das Element der Folge von Index - . Wenn jedes t n ∈ [ 0 , 1 ] ist , können wir t G mit einer einheitlichen Zufallsvariablen in [ 0 , 1 ] (wie oben konstruiert) vergleichen, um ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit E [ t zu erhaltenGtn∈[0,1]tG[0,1] .E[tG]=∑ntnP(G=n)=∑ntnqnp
Das ist fast das, was wir brauchen. Wir möchten dieses eliminieren, um die Potenzreihe für p α in q zu verwenden .ppαq
1=p+qp+q2p+q3p+...
qn=qnp+qn+1p+qn+2p+...
∑nsnqn==∑nsn(qnp+qn+1p+qn+2p+...)∑n(s0+s1+...+sn)qnp
Betrachten wir . Seitndie Summe der Koeffizienten vonqbisqn. Dann gilt1-pα=∑ntnqnp. Jedestn∈[0,1],da die Koeffizienten positiv sind und sich zu1-0α=1summieren, können wir ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit1-pαkonstruieren1−pα=αq+α(1−α)2q2+...tnqqn1−pα=∑ntnqnptn∈[0,1]1−0α=11−pαdurch einen fairen Bitstrom mit der binären Erweiterung des Vergleichen . Das Komplement hat Wahrscheinlichkeit p α je nach Bedarf.tGpα
Auch hier ist das Argument auf Kardinal zurückzuführen.