Wie kann man eine marginale Verteilung aus einer gemeinsamen Verteilung mit einer Abhängigkeit von mehreren Variablen finden?

Eines der Probleme in meinem Lehrbuch ist wie folgt. Ein zweidimensionaler stochastischer kontinuierlicher Vektor hat die folgende Dichtefunktion:

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Zeigen Sie, dass die Randdichtefunktionen und sind: $f_X$ $f_Y$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Ich verstehe, wie die Dichtefunktion berechnet wird, indem von bis in Bezug auf . Ich bin jedoch total verloren auf , woher kommt das ? Wenn ich in Bezug auf von auf integriere, bekomme ich nur $f_X$ $f_{X,Y}$ $0$ $x$ $y$ $f_Y$ $(1-y^2)$ $0$ $1$ $x$ , und warum ist der Bereich? $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ $0 < y < 1$

Ich habe die Unterstützung für grafisch dargestellt. Alle Werte, bei denen sind, sind blau gefärbt: $X,Y$ $f_{X,Y}>0$

Die Unterstützung für $ X, Y $

— soren.qvist
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(X, Y)

$(X,Y)$

(x, y)

$(x,y)$

f (x, y) \neq 0

$f(x,y)\ne 0$

@whuber Okay, also habe ich die Unterstützung grafisch dargestellt und ich denke, ich verstehe, warum es 0 <y <1 ist, weil x nur in 0 <x <1 definiert ist und da 0 <y <x ist, haben wir dann natürlich nur y definiert von 0 bis 1, richtig? Aber ich verstehe den (1-y ^ 2) Teil immer noch nicht.

— soren.qvist

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{X, Y} (x, y)

$f_{X,Y}(x,y)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y < x < 1$

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$

(1 - y^{2})

$(1-y^2)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y<x<1$

f_{Y} (0.4)

$f_Y(0.4)$

x

$x$

(15 (0.4)^{2}) x = 2.4 x

$(15(0.4)^2)x=2.4x$

x

$x$

0.4

$0.4$

1

$1$

0

$0$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

$f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

$X=y$ $X=1$

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x = 15 y^{2} \int_{y}^{1} x d x = 15 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} |_{y}^{1}) = \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

— user3487564
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