Wie die Antwort von Mike Anderson besagt, können Sie die Wahrscheinlichkeit für das Aussterben einer Amöbenlinie mit der Summe der Wahrscheinlichkeiten für das Aussterben der Kinderlinie gleichsetzen.
pp a r e n t= 14p3c h i l d+ 14p2c h i l d+ 14pc h i l d+ 14
Wenn Sie dann die Wahrscheinlichkeit für das Aussterben der Eltern und Kinder gleichsetzen, erhalten Sie die Gleichung:
p = 14p3+ 14p2+ 14p + 14
mit Wurzeln , und .p = 1p = 2-√- 1p = - 2-√- 1
Es bleibt die Frage, warum die Antwort und nicht . Dies wird zum Beispiel in diesem Duplikat Amoeba Interview gefragt. Frage: Ist das P (N = 0) 1 oder 1/2? . In der Antwort von Shabbychef wird erklärt, dass man als Erwartungswert der Bevölkerungsgröße nach der und sehen kann, ob sie entweder schrumpft oder wächst.p = 2-√- 1p = 1EkkEkk
Für mich steckt eine gewisse Indirektheit in der Argumentation dahinter, und es scheint, als sei dies nicht vollständig bewiesen.
- Zum Beispiel bemerkt Whuber in einem der Kommentare, dass Sie einen wachsenden Erwartungswert und auch die Wahrscheinlichkeit für das Aussterben im ten Schritt-Ansatz 1 haben können. Als Beispiel könnten Sie ein katastrophales Ereignis einführen, das die gesamte Amöbenpopulation auslöscht und es tritt mit einiger Wahrscheinlichkeit in jedem Schritt auf. Dann wird die Amöbenlinie mit ziemlicher Sicherheit sterben. Die Erwartung an die Populationsgröße in Schritt wächst jedoch.Ekkxk
- Darüber hinaus lässt die Antwort offen, was wir von der Situation zu denken haben, wenn (z. B. wenn eine Amöbe sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% oder nicht aufteilt, dann die Linie einer Amöbe mit einer Wahrscheinlichkeit von fast obwohl )Ek= 11Ek= 1
Alternative Herleitung.
Man beachte, dass die Lösung eine leere Wahrheit sein kann . Wir setzen die Wahrscheinlichkeit, dass die Abstammungslinie der Eltern ausgestorben ist, der Abstammungslinie des Kindes gleich.p = 1
- Wenn 'die Wahrscheinlichkeit für das Aussterben der Abstammungslinie des Kindes gleich '. Dann ist 'die Wahrscheinlichkeit, dass die Abstammungslinie der Eltern ausgestorben ist, gleich '.11
1
Dies bedeutet jedoch nicht , dass „die Wahrscheinlichkeit, dass die Abstammungslinie des Kindes ausgestorben ist, beträgt “. Dies ist besonders deutlich, wenn es immer eine Nachwuchszahl ungleich Null geben würde. Stellen Sie sich zB die Gleichung vor:1
p = 13p3+ 13p2+ 13p
Könnten wir auf etwas andere Weise zu einer Lösung kommen?
Nennen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Linie vor der ten Division ausgestorben ist . Dann haben wir:pkk
p1=14
und die Wiederholungsbeziehung
pk+1=14p3k+14p2k+14pk+p1
oder
δk=pk+1−pk=14p3k+14p2k−34pk+p1=f(pk)
Wo also ist, steigt die Wahrscheinlichkeit, vor der ten Teilung ausgestorben zu sein, mit zunehmendem .f(pk)>1kk
Konvergenz zur Wurzel und das Verhältnis zum Erwartungswert
Wenn die Stufe kleiner ist als der Abstand zur Wurzel dann wird diese Zunahme von mit wachsendem den Punkt, an dem nicht .f(pk)<p∞−pkpkkf(p∞)=0
Sie können überprüfen, ob dies (ohne die Wurzel zu überschreiten) immer der Fall ist, wenn die Steigung / Ableitung von über oder gleich , und dies ist wiederum immer der Fall für und Polynome wie mit .f(pk)−10≤p≤1f(p)=−p+∑∞k=0akpkak≥0
Mit der Ableitung in den äußersten Punkten gleich und Sie können sehen, dass es ein Minimum zwischen und geben muss, wenn (und damit verbunden muss es eine Wurzel zwischen und , also nein Aussterben). Und im Gegensatz zu wird es keine Wurzel zwischen und , was zu einer gewissen Auslöschung führt (mit Ausnahme des Falls der auftritt, wenn ).f′(p)=−1+∑k=1∞akkpk−1
f′(0)=−1f′(1)=−1+E1p=0p=1E1>101E1≤101f(p)=0a1=1