Was ist der Unterschied zwischen einem "verschachtelten" und einem "nicht verschachtelten" Modell?

In der Literatur zu hierarchischen / mehrstufigen Modellen habe ich oft über "verschachtelte Modelle" und "nicht verschachtelte Modelle" gelesen, aber was bedeutet das? Könnte mir vielleicht jemand einige Beispiele geben oder mir die mathematischen Implikationen dieser Formulierung erklären?

Verschachtelte und nicht verschachtelte Objekte können eine ganze Reihe von Dingen bedeuten. Sie haben verschachtelte Designs gegenüber gekreuzten Designs (siehe z . B. diese Erklärung ). Sie haben Modelle im Modellvergleich verschachtelt. Verschachtelt bedeutet hier, dass alle Terme eines kleineren Modells in einem größeren Modell vorkommen. Dies ist eine notwendige Bedingung für die Verwendung der meisten Modellvergleichstests, z. B. Likelihood-Ratio-Tests.

Im Kontext von Mehrebenenmodellen halte ich es für besser, von verschachtelten und nicht verschachtelten Faktoren zu sprechen. Der Unterschied besteht darin, wie die verschiedenen Faktoren miteinander zusammenhängen. In einem verschachtelten Entwurf sind die Ebenen eines Faktors nur innerhalb der Ebenen eines anderen Faktors sinnvoll.

Angenommen, Sie möchten die Sauerstoffproduktion von Blättern messen. Sie beproben eine Reihe von Baumarten und beproben an jedem Baum einige Blätter unten, in der Mitte und oben auf dem Baum. Dies ist ein verschachteltes Design. Der Unterschied für Blätter in einer anderen Position ist nur innerhalb einer Baumart sinnvoll. Daher ist es sinnlos, die unteren Blätter, die mittleren Blätter und die oberen Blätter aller Bäume miteinander zu vergleichen. Oder anders gesagt: Blattlage sollte nicht als Haupteffekt modelliert werden.

Nicht verschachtelte Faktoren sind eine Kombination aus zwei Faktoren, die nicht miteinander zusammenhängen. Nehmen wir an, Sie studieren Patienten und interessieren sich für den Unterschied zwischen Alter und Geschlecht. Sie haben also einen Faktor Altersklasse und einen Faktor Geschlecht, die nicht miteinander verwandt sind. Sie sollten Alter und Geschlecht als Haupteffekt modellieren und bei Bedarf einen Blick auf die Interaktion werfen.

Der Unterschied ist nicht immer so klar. Wenn in meinem ersten Beispiel die Baumarten in Form und Physiologie eng miteinander verwandt sind, können Sie die Blattposition auch als gültigen Haupteffekt betrachten. In vielen Fällen ist die Entscheidung für ein verschachteltes Design im Vergleich zu einem nicht verschachtelten Design eher eine Entscheidung des Forschers als eine echte Tatsache.

Verschachtelte und nicht verschachtelte Modelle werden in der Conjoint-Analyse und in der IIA berücksichtigt . Betrachten Sie das "Problem mit dem roten Bus und dem blauen Bus". Sie haben eine Bevölkerung, in der 50% der Menschen mit dem Auto zur Arbeit fahren und die anderen 50% mit dem roten Bus. Was passiert, wenn Sie der Gleichung einen blauen Bus hinzufügen, der die gleichen Spezifikationen wie der rote Bus hat? Ein multinomiales Logit- Modell sagt einen Anteil von 33% für alle drei Modi voraus. Wir wissen intuitiv, dass dies nicht korrekt ist, da der rote Bus und der blaue Bus einander ähnlicher sind als das Auto und daher mehr Teile voneinander übernehmen, bevor sie vom Auto genommen werden. Hier kommt eine Verschachtelungsstruktur ins Spiel, die bei ähnlichen Alternativen typischerweise als Lambda-Koeffizient angegeben wird.

Ben Akiva hat eine Reihe von Folien zusammengestellt, die die Theorie dazu hier skizzieren . Er beginnt über verschachtelte Logit um Folie 23 zu sprechen.

Ein Modell ist in einem anderen verschachtelt, wenn Sie immer das erste Modell erhalten können, indem Sie einige Parameter des zweiten Modells einschränken. Zum Beispiel ist das lineare Modell im 2-Grad-Polynom verschachtelt , weil durch Setzen von b = 0 die 2-Grad-Zahl. Polynom wird identisch mit der linearen Form. Mit anderen Worten, eine Linie ist ein Sonderfall eines Polynoms, und daher sind die beiden verschachtelt.$y = a x + c$$y = ax + bx^2 + c$

Die Hauptaussage, wenn zwei Modelle verschachtelt sind, ist, dass es relativ einfach ist, sie statistisch zu vergleichen. Einfach ausgedrückt, mit verschachtelten Modellen können Sie das komplexere als konstruiert betrachten, indem Sie etwas zu einem einfacheren "Nullmodell" hinzufügen. Um das Beste aus diesen beiden Modellen auszuwählen, müssen Sie lediglich herausfinden, ob das Hinzufügen von Elementen eine erhebliche zusätzliche Varianz in den Daten erklärt. Dieses Szenario entspricht tatsächlich der Anpassung des einfachen Modells zuerst und der Entfernung seiner vorhergesagten Varianz aus den Daten und der Anpassung der zusätzlichen Komponente des komplexeren Modells an die Residuen aus der ersten Anpassung (zumindest mit der Schätzung der kleinsten Quadrate).

Nicht verschachtelte Modelle können völlig unterschiedliche Teile der Varianz in den Daten erklären. Ein komplexes Modell kann sogar weniger Varianz erklären als ein einfaches, wenn das komplexe nicht das "richtige Zeug" enthält, das das einfache hat. In diesem Fall ist es etwas schwieriger vorherzusagen, was unter der Nullhypothese passieren würde, wenn beide Modelle die Daten gleich gut erklären.

Genauer gesagt folgt unter der Nullhypothese (und unter bestimmten moderaten Annahmen) der Unterschied in der Anpassungsgüte zwischen zwei verschachtelten Modellen einer bekannten Verteilung, deren Form nur von dem Unterschied in den Freiheitsgraden zwischen den beiden abhängt Modelle. Dies gilt nicht für nicht verschachtelte Modelle.

Zwei Modelle sind nicht verschachtelt oder getrennt, wenn ein Modell nicht als Grenze des anderen erhalten werden kann (oder wenn ein Modell kein besonderer Fall des anderen ist).

Sie haben nach dem Unterschied zwischen verschachtelten und nicht verschachtelten Modellen gefragt. Sehen:

• Cox, DR: Tests einzelner Familien von Hypothesen, Proceedings 4th Berkeley Symposium in Mathematical Statistics and Probability, 1, 105–123 (1961). University of California Press.
• Cox, DR: Weitere Ergebnisse zum Test getrennter Familien von Hypothesen. Zeitschrift der Royal Statistical Society B, 406–424 (1962).

Wo das Thema nicht verschachtelter oder separater Modelle zum ersten Mal behandelt wurde oder in meinem bevorstehenden Buch: Wahl der getrennten oder nicht verschachtelten Modelle .

Eine einfachere Antwort finden Sie in diesem PDF . Im Wesentlichen ist ein verschachteltes Modell ein Modell mit weniger Variablen als ein vollständiges Modell. Eine Absicht ist es, nach sparsameren Antworten zu suchen.