Kovarianz transformierter Zufallsvariablen

Ich habe zwei Zufallsvariablen $X > 0$ und $Y > 0$ .

Wenn ich

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$ abschätzen kann

wie kann ich

abschätzen

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— user7064
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Diese frühere Frage bezog sich auf Korrelation anstelle von Kovarianz, ist aber verwandt mit: stats.stackexchange.com/questions/35941/…

— Douglas Zare

Man könnte den Ansatz der Taylor-Expansion verfolgen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

Bearbeiten:

Nimm , . $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

Verwenden Sie die multivariate Taylor-Erweiterung, um eine Annäherung an zu berechnen (ähnlich wie im Beispiel am Ende von "First Moment" in der Verknüpfung, die den einfacheren Fall von , und verwenden Sie univariate Erweiterungen zur Berechnung von Näherungen an und (wie im ersten Teil desselben Abschnitts angegeben) mit ähnlicher Genauigkeit. Berechnen Sie aus diesen Dingen die (angenäherte) Kovarianz. $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

Ich gehe davon aus, dass Sie Begriffe im Mittelwert und in der Varianz jeder (nicht transformierten) Variablen und ihrer Kovarianz erhalten, die sich in einem ähnlichen Näherungsgrad wie das Beispiel im Link befinden.

Bearbeiten 2:

Aber hier ist ein kleiner Trick, der einige Mühen erspart:

Man beachte , dass und und . $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

Gegeben ist wir haben

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Edit: Dieser letzte Schritt folgt aus der Taylor-Approximation , was gut für kleines (wobei $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ ). $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

(Diese Näherung ist genau für , normal: $U$ $V$ ) $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Sei $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

$\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

(Bearbeiten:)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

$\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

Wenn Sie die erste Näherung anstelle der zweiten verwenden, erhalten Sie hier eine andere Näherung.

— Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
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Könnten Sie uns bitte etwas näher erläutern? Trotzdem danke für den Vorschlag

— user7064

Für Details bearbeitet.

— Glen_b

Danke @Glend_b. Ich akzeptiere, wenn Details hinzugefügt werden. In der Zwischenzeit +1 :-)

— user7064

Keine Bange; Ich war zu der Zeit beschäftigt, dann total vergessen. Jetzt behoben

— Glen_b -Reinstate Monica 18.01.13

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(X,Y)$ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ $\log(X)$ $\log(Y)$

— Der Bauer
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