Warum wird die Quadratwurzeltransformation für Zählungsdaten empfohlen?

Es wird oft empfohlen, die Quadratwurzel zu ziehen, wenn Sie Daten zählen. (Beispiele auf CV finden @ HarveyMotulsky Antwort hier oder @ whuber Antwort hier .) Auf der anderen Seite, wenn ein allgemeines lineares Modell mit einer Reaktionsvariable passend als Poisson verteilte, ist das Protokoll der kanonische Link . Dies entspricht einer Protokolltransformation Ihrer Antwortdaten (genauer gesagt einer Protokolltransformation von , dem Parameter, der die Antwortverteilung steuert). Somit besteht eine gewisse Spannung zwischen diesen beiden. $\lambda$

• Wie vereinbaren Sie diese (offensichtliche) Diskrepanz?
• Warum ist die Quadratwurzel besser als der Logarithmus?

Die Quadratwurzel ist für das Poisson annähernd varianzstabilisierend . Es gibt eine Reihe von Variationen der Quadratwurzel, die die Eigenschaften verbessern, z. B. das Hinzufügen von$\frac{3}{8}$ √ bevor die Quadratwurzel gezogen wird, oder das Freeman-Tukey ( - obwohl es oft auch für den Mittelwert angepasst wird).$\sqrt{X}+\sqrt{X+1}$

Die Quadratwurzeltransformation verbessert etwas die Symmetrie - wenn auch nicht so gut wie die Potenz von [1]:$\frac{2}{3}$

Wenn Sie besonders die Normalnähe wünschen (solange der Parameter des Poisson nicht wirklich klein ist) und sich nicht um die Heteroskedastizität kümmern oder diese ausgleichen können, versuchen Sie es mit power.$\frac{2}{3}$

Die kanonische Verknüpfung ist im Allgemeinen keine besonders gute Transformation für Poisson- Daten . log Null ist ein besonderes Problem (ein weiteres Problem ist die Heteroskedastizität; Sie können auch Linksschiefheit bekommen, selbst wenn Sie keine Nullen haben). Wenn die kleinsten Werte nicht zu nahe bei 0 liegen, kann dies zur Linearisierung des Mittelwerts hilfreich sein. Es ist eine gute ‚Transformation‘ für die bedingte Bevölkerung Mittelwert eines Poisson in einer Reihe von Zusammenhängen, aber nicht immer von Poisson - Daten. Wenn Sie jedoch transformieren möchten, besteht eine gängige Strategie darin, eine Konstante hinzuzufügen, das Problem zu vermeiden . In diesem Fall sollten wir uns überlegen, welche Konstante hinzugefügt werden soll. Ohne zu weit von der Fragestellung entfernt zu sein, liegen die Werte von zwischen$y^*=\log(y+c)$$0$$c$$0.4$und funktionieren über einen Bereich von -Werten sehr gut (z. B. in Bezug auf die Abweichung in der Neigungsschätzung) . Normalerweise benutze ich einfach da es einfach ist, wobei Werte um oft nur geringfügig besser sind.$0.5$$\mu$$\frac12$$0.43$

Warum Menschen eine Transformation einer anderen (oder keiner) vorziehen - das hängt wirklich davon ab, was sie tun, um dies zu erreichen.

[1]: Diagramme nach Henrik Bengtssons Plots in seinem Handzettel "Generalized Linear Models and Transformed Residuals", siehe hier (siehe erste Folie auf Seite 4). Ich fügte ein wenig Y-Jitter hinzu und ließ die Zeilen weg.