Was ist das PDF des Produkts zweier unabhängiger Zufallsvariablen X und Y, wenn X und Y unabhängig sind? X ist normalverteilt und Y ist Chi-Quadrat-verteilt.

Z = XY

wenn eine Normalverteilung hat und hat Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgrad wenn die Einheitsschrittfunktion ist.X ≤ N ( μ x , σ 2 x ) f X ( x ) = $X$

$$X\sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$$ YkY~& khgr;2kfY(y)=y(k/2)-1e-y/ $$f_X(x)={1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}e^{-{1\over2}({x-\mu_x\over\sigma_x})^2}$$ $Y$$k$ $$Y\sim \chi_k^2$$ u(y $$f_Y(y)={y^{(k/2)-1}e^{-y/2}\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}u(y)$$ $u(y)$

Was ist nun das PDF von wenn und unabhängig sind?X $Z$$X$$Y$

Eine Möglichkeit , die Lösung zu finden , ist Rohatgi des bekannten Ergebnis zu verwenden (1976, S.141) , wenn sein die gemeinsame pdf kontinuierlicher RV und , die pdf von ist X Y Z f Z ( z ) = ∫ ∞ - ∞$f_{XY}(x,y)$$X$$Y$$Z$

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{XY}({z\over y},y)dy}$$

da und unabhängig sind Wo wir vor dem Problem stehen, das Integral \ int_ {0} ^ zu lösen {\ infty} {{1 \ over | y |} e ^ {- {1 \ over2} ({{z \ overy} - \ mu_x \ over \ sigma_x}) ^ 2} {y ^ {(k / 2 ) -1} e ^ {- y / 2}} dy} . Kann mir jemand bei diesem Problem helfen.Y f X Y ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f Z ( z ) = ∫ ∞ - ∞$X$$Y$$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ fZ(z)=

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{X}({z\over y})f_{Y}(y)dy}$$ ≤≤0 $$f_Z(z) = {1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}{1\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$$ $\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$

Gibt es eine alternative Möglichkeit, dies zu lösen?

Vereinfache den Begriff im Integral zu

$T=e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} y^{k/2-2}$

finde das Polynom so, dass$p(y)$

$[p(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)}]'=p'(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} = T$

was sich darauf reduziert, so zu finden, dass$p(y)$

$p'(y) + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' = y^{k/2-2}$

oder

$p'(y) -\frac{1}{2} p(y) (\frac{z \mu_x }{\sigma_x^2} y^{-2} \frac{z^2}{\sigma_x^2} y^{-3} -1)= y^{k/2-2}$

was getan werden kann, alle Kräfte von separat zu bewerten$y$

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Die obige Lösung funktioniert nicht, da sie auseinander geht.

Einige andere haben jedoch an dieser Art von Produkt gearbeitet.

Fourrier-Transformation verwenden:

Schönecker, Steven und Tod Luginbuhl. "Charakteristische Funktionen des Produkts zweier Gaußscher Zufallsvariablen und des Produkts einer Gaußschen und einer Gamma-Zufallsvariablen." IEEE Signal Processing Letters 23.5 (2016): 644-647. http://ieeexplore.ieee.org/document/7425177/#full-text-section

Für das Produkt mit und sie die charakteristische Funktion erhalten:$Z=XY$$X \sim \mathcal{N}(0,1)$$Y \sim \Gamma(\alpha,\beta)$

$\varphi_{Z} = \frac{1}{\beta^\alpha }\vert t \vert^{-\alpha} exp \left( \frac{1}{4\beta^2t^2} \right) D_{-\alpha} \left( \frac{1}{\beta \vert t \vert } \right)$

mit der Funktion von Whittaker ( http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_686.htm )$D_\alpha$

Verwenden der Mellin-Transformation:

Springer und Thomson haben allgemeiner die Bewertung von Produkten aus Beta, Gamma und Gauß verteilten Zufallsvariablen beschrieben.

Springer, MD und WE Thompson. "Die Verteilung von Produkten aus Beta, Gamma und Gaußschen Zufallsvariablen." SIAM Journal on Applied Mathematics 18.4 (1970): 721 & ndash; 737. http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065

Sie verwenden die Mellin-Integraltransformation. Die Mellin-Transformation von ist das Produkt der Mellin-Transformation von und (siehe http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065 oder https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177730201 ). In den untersuchten Fällen von Produkten kann die Rücktransformation dieses Produkts als eine Meijer-G-Funktion ausgedrückt werden, für die sie auch Berechnungsmethoden bereitstellen und nachweisen.$Z$$X$$Y$

Sie haben das Produkt einer Gaußschen und einer Gamma-verteilten Variablen nicht analysiert, obwohl Sie möglicherweise die gleichen Techniken anwenden können. Wenn ich versuche, dies schnell zu tun, sollte es meiner Meinung nach möglich sein, eine H-Funktion ( https://en.wikipedia.org/wiki/Fox_H-function ) zu erhalten, obwohl ich nicht direkt die Möglichkeit sehe, eine G -Funktion zu erhalten. Funktion oder andere Vereinfachungen machen.

$M\lbrace f_Y(x) \vert s \rbrace = 2^{s-1} \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

und

$M\lbrace f_X(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{(s-1)/2} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2)$

du erhältst

$M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{\frac{3}{2}(s-1)} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2) \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

und die Verteilung von ist:$Z$

$f_Z(y) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} y^{-s} M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace ds$

Das sieht für mich (nach einer Änderung der Variablen zur Eliminierung des Terms) mindestens nach einer H-Funktion aus$2^{\frac{3}{2}(s-1)}$

Was noch übrig ist, ist das Rätsel, um diese inverse Mellin-Transformation als G-Funktion auszudrücken. Das Auftreten von und erschwert dies. In dem separaten Fall für ein Produkt von nur Gaußschen verteilten Variablen könnte die durch Ersetzen der Variablen in transformiert werden . Aufgrund der Chi-Quadrat-Verteilung funktioniert dies jedoch nicht mehr. Vielleicht ist dies der Grund, warum niemand eine Lösung für diesen Fall gefunden hat.s / 2 s / 2 s x = w $s$$s/2$$s/2$$s$$x=w^2$