Welches ist die größte von einer Reihe normalverteilter Zufallsvariablen?

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Ich habe zufällige Variablen . hat eine Normalverteilung mit Mittelwert und Varianz . Die rvs sind normalerweise mit dem Mittelwert und der Varianz . Alles ist voneinander unabhängig. $X_0,X_1,\dots,X_n$ $X_0$ $\mu>0$ $1$ $X_1,\dots,X_n$ $0$ $1$

Es sei das Ereignis, dass $E$ $X_0$ $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ $\Pr[E]$ $\Pr[E]$ $\mu,n$ $\Pr[E]$

In meiner Anwendung ist fest ( ) und ich möchte den kleinsten Wert für , der ergibt , aber ich bin auch neugierig auf die allgemeine Frage. $n$ $n=61$ $\mu$ $\Pr[E] \ge 0.99$

probability normal-distribution

— DW
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Wie groß ist

n

$n$ ? Es sollte einige gute asymptotische Ausdrücke geben, die auf einer Theorie mit großen Stichproben beruhen.

— whuber

@whuber, danke! Ich habe die Frage bearbeitet: in meinem Fall . Selbst wenn nicht groß genug ist, um als groß zu gelten , wäre es interessant , wenn es gute asymptotische Schätzungen für den Fall gibt, dass groß ist.

n = 61

$n=61$

n = 61

$n=61$

n

$n$

— DW

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Unter Verwendung der numerischen Integration .

μ \approx 4.91912496

$\mu \approx 4.91912496$

— whuber

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Die Berechnung derartiger Wahrscheinlichkeiten wurde von Nachrichtentechnikern unter der Bezeichnung -ary Orthogonal Signaling ausführlich untersucht, $M$ wobei das Modell dasjenige von orthogonalen Signalen ist, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit mit gleicher Energie übertragen werden, und der Empfänger versucht, durch Untersuchen des zu entscheiden, welches übertragen wurde An die Signale angepasste Ausgänge von Filtern . Abhängig von der Identität des übertragenen Signals sind die Abtastausgänge der angepassten Filter (bedingt) unabhängige normale Zufallsvariablen mit Einheitsvarianz. Die Abtastausgabe des Filters, die an das übertragene Signal angepasst ist, ist eine Zufallsvariable, während die Ausgaben aller anderen Filter $M$ $M$ $N(\mu,1)$ $N(0,1)$ zufällige Variablen.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit einer korrekten Entscheidung (die im vorliegenden Kontext das Ereignis ), das an konditioniert ist, ist wobei die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Standards ist normale Zufallsvariable, und daher ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit wobei $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$ $X_0 = \alpha$

P (C ∣ X_{0} = α) = \prod_{i = 1}^{n} P {X_{i} < α ∣ X_{0} = α} = {[Φ (α)]}^{n}

$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

P (C) = \int_{- \infty}^{\infty} P (C ∣ X_{0} = α) ϕ (α - μ) d α = \int_{- \infty}^{\infty} {[Φ (α)]}^{n} ϕ (α - μ) d α

$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$ ist die normale Standarddichtefunktion. Es gibt keinen geschlossenen Ausdruck für den Wert dieses Integrals, der numerisch ausgewertet werden muss. Ingenieure interessieren sich auch für das Komplementärereignis - dass die Entscheidung ist -, dies jedoch nicht als berechnen, da dies der Grund ist erfordert eine sehr sorgfältige Bewertung des Integrals für mit einer Genauigkeit von vielen signifikanten Stellen, und eine solche Bewertung ist sowohl schwierig als auch zeitaufwendig. Stattdessen kann das Integral für nach Teilen integriert werden, um

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = P (E) = 1 - P (C)

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$

P (C)

$P(C)$

1 - P (C)

$1-P(C)$

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = \int_{- \infty}^{\infty} n {[Φ (α)]}^{n - 1} ϕ (α) Φ (α - μ) d α .

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$ Dieses Integral ist numerisch leichter zu bewerten, und sein Wert als Funktion von wird in Kapitel 5 von Telecommunication Systems Engineering von Lindsey und Simon, Prentice-Hall 1973, Dover, grafisch dargestellt und tabellarisch dargestellt (wenn auch leider nur für ) Press 1991. Alternativ verwenden Ingenieure die Vereinigung gebunden oder Bonferroni Ungleichheit wobei die komplementäre kumulative Normalverteilungsfunktion ist.

μ

$\mu$

n \leq 20

$n \leq 20$

\begin{aligned} P {X_{0} < max_{i} X_{i}} & = P {(X_{0} < X_{1}) \cup (X_{0} < X_{2}) \cup \dots \cup (X_{0} < X_{n})} \\ \leq \sum_{i = 1}^{n} P {X_{0} < X_{i}} \\ = n Q (\frac{μ}{\sqrt{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$

Q (x) = 1 - Φ (x)

$Q(x) = 1-\Phi(x)$

Aus der Vereinigungsgrenze sehen wir, dass der gewünschte Wert für oben durch begrenzt ist, wobei die Grenze bei Wert hat . Dies ist etwas größer als der genauere Wert lDots, den @whuber durch numerische Integration erhält. $0.01$ $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ $0.01$ $\mu = 5.09\ldots$ $\mu = 4.919\ldots$

Weitere Erläuterungen und Details zur orthogonalen Signalübertragung von finden Sie auf den Seiten 161-179 meiner Vorlesungsunterlagen für einen Kurs über Kommunikationssysteme. $M$

— Dilip Sarwate
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Eine formelle Antwort:

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung (Dichte) für das Maximum von iid -Variaten ist: wobei die Wahrscheinlichkeitsdichte und die kumulative Verteilungsfunktion ist . $N$ $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ $p$ $\Phi$

Daraus können Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass größer ist als die anderen über $X_0$ $N-1$ $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

Möglicherweise müssen Sie verschiedene Näherungswerte prüfen, um dies für Ihre spezifische Anwendung handhaben zu können.

— Dave
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+1 Tatsächlich vereinfacht sich das Doppelintegral in ein einziges Integral, da ergibt das ist das gleiche wie in meiner Antwort.

\int_{y}^{\infty} p (x_{0}) d x_{0} = 1 - Φ (y - μ)

$\int_y^\infty p(x_0)\,\mathrm dx_0 = 1 - \Phi(y-\mu)$

P (E) = 1 - (N - 1) \int_{- \infty}^{\infty} Φ^{N - 2} (y) p (y) Φ (y - μ) d y

$P(E) = 1 - (N-1)\int_{-\infty}^\infty \Phi^{N-2}(y)p(y)\Phi(y-\mu)\,\mathrm dy$

— Dilip Sarwate