Kann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung eine unendliche Standardabweichung haben?

Ich glaube, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, wobei $p[x]$

p [x]] = \frac{1}{π (1 + x^{2})}

$\begin{equation} p[x] = \frac{1}{\pi (1+x^2)} \end{equation}$

da es überall positiv ist und sich zu 1 auf . $-\infty, \infty$

Der Mittelwert ist symmetrisch 0, obwohl die Integration von auf nicht konvergiert. Das ist „verdächtig“ , da soll eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein, aber vernünftig , weil ist , die zu divergieren bekannt ist. $xp[x]$ $-\infty, \infty$ $p[x]$ $xp[x]$ $O(1/x)$

Das größere Problem besteht in der Berechnung der Standardabweichung. Da ebenfalls divergiert, da ist . $x^2 p[x]$ $x^2 p[x]$ $O(1)$

Wenn dies keine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, warum nicht? Wenn ja, ist die Standardabweichung unendlich?

Die kumulative Verteilungsfunktion ist wenn dies hilft. $\arctan[x]/\pi$

Jemand erwähnte, dass dies eine Gammaverteilung sein könnte, aber das ist mir nicht klar.

distributions standard-deviation

— Barrycarter
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@ user1566: Ich habe Ihre Gleichungen mit LaTex formatiert. Würden Sie überprüfen, ob ich keine Fehler eingeführt habe?

— Csgillespie

Danke, das Problem ist gelöst, also kein Problem mehr, aber ja, alles sieht in Ordnung aus.

— Barrycarter

Der Mittelwert eines Cauchy ist nicht Null. Tatsächlich existiert es nicht. Somit auch keiner seiner zentralen Momente.

— Kardinal

Meine Antwort auf eine verwandte Frage finden Sie hier. stats.stackexchange.com/questions/232967/…

— Haitao Du

Um Ihren Fragentitel zu beantworten: Ja, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung kann eine unendliche Standardabweichung haben (siehe unten).

Ihr Beispiel ist ein Sonderfall der Cauchy-Verteilung, deren Mittelwert oder Varianz nicht existiert. Setzen Sie den Standortparameter auf 0 und die Skala auf 1, damit der Cauchy zu Ihrem PDF gelangt.

Es gibt einen Unterschied zwischen dem Mittelwert und der Varianz, die nicht existieren, und sie sind unendlich.

— Kardinal

$[-\infty,\infty]$ $f(x)=\frac{2}{x^3}$ $[1,\infty)$

— Alex R.
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