Ist der Wert einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für eine bestimmte Eingabe ein Punkt, ein Bereich oder beides?

Dieser Beitrag sagt

Ein PDF wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit anzugeben, dass die Zufallsvariable in einen bestimmten Wertebereich fällt, anstatt einen Wert anzunehmen.

Ist es wahr?

Dies ist das PDF der Standardnormalverteilung.

φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

Stecke x = 0 in die obige Formel, ich kann die Wahrscheinlichkeit bekommen, einen Wert anzunehmen.

Bedeutet dieser Beitrag, dass das PDF sowohl für Punkte als auch für Intervalle verwendet werden kann?

distributions terminology

— yaojp
quelle

Diese Antwort von whuber geht detaillierter darauf ein, wie der Wert des PDF an einem bestimmten Punkt zu interpretieren ist.

— COOLSerdash

Willkommen bei CV yaojp. Ich vermute, dass die Notation eine Rolle bei Ihrer Ratlosigkeit spielt: Die Funktion ist die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, die explizit ein Integral von bis sodass ihre Wahrscheinlichkeiten ungleich Null aus Intervallen stammen müssen .

φ (x)

$\varphi(x)$

- \infty

$-\infty$

x

$x$

— Alexis

Sie können die Dichte auch folgendermaßen interpretieren: Für ein sehr kleines Intervall gilt:

[x - ϵ, x + ϵ]

$[x-\epsilon, x+\epsilon]$

P (X \in [x - ϵ, x + ϵ]) \approx 2 ϵ f (x)

$P(X \in [x-\epsilon,x+\epsilon]) \approx 2\epsilon f(x)$

— Sebastian

Antworten:

Das Zitat ist wahr. Wenn Sie in die PDF-Funktion einfügen, erhalten Sie NICHT die Wahrscheinlichkeit, diesen bestimmten Wert anzunehmen. Die resultierende Zahl ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, die keine Wahrscheinlichkeit ist. Die Wahrscheinlichkeit, genau ist Null (berücksichtigen Sie die unendliche Anzahl ähnlich wahrscheinlicher Werte im winzigen Intervall ). $x=0$ $x=0$ $x\in[0,10^{-100}]$

Um sich weiter davon zu überzeugen, dass dieses keine Wahrscheinlichkeit sein kann, sollten Sie die Standardabweichung Ihrer Normalverteilung von auf verringern . Jetzt ist - viel mehr als eins. Keine Wahrscheinlichkeit. $\varphi(x)$ $\sigma = 1$ $\sigma = \frac{1}{100}$ $\varphi(0)=\frac{100}{\sqrt{2\pi}}$

— Trisoloriansunscreen
quelle

Danke für deine Antwort. Wofür ist ? Ist es diskret? Würden Sie bitte eine festgelegte Notation angeben, etwa ?

x \in [{0..10}^{- 100}]

$x\in[0..10^{-100}]$

{0, . . ., 10^{- 99}, 10^{- 100}}

$\{0, ..., 10^{-99}, 10^{-100}\}$

— Yaojp

Entschuldigung für die schlampige Notation. Kontinuierlich, nicht diskret - alle Zahlen zwischen 0 und . Der Punkt ist, dass wenn die Wahrscheinlichkeit wäre, einen bestimmten Wert anzunehmen, die Gesamtwahrscheinlichkeit für dieses winzige Intervall unendlich wäre.

10^{- 100}

$10^{-100}$

φ (x)

$\varphi(x)$

— Trisoloriansunscreen

+1 Willkommen bei CV, @Trisoloriansunscreen. Ihr Name amüsiert mich, wenn ich davon ausgehe, dass er sich auf Cixin Lius Trilogie bezieht?

— Alexis

@ Alexis, richtig :)

— Trisoloriansunscreen

Ausarbeitung ein wenig auf Trisoloriansunscreen Antwort : Es ist sehr wahr , dass man nur eine Wahrscheinlichkeit bekommt Dichte Funktion. Ich möchte eine Analogie für Sie ziehen. Stellen Sie sich vor, Sie haben ein 3D-Objekt, sagen wir ein komplexes Raumschiff, und Sie kennen die Massendichte an jedem Punkt.

Beispielsweise könnten einige Teile des Raumschiffs Wasser enthalten, das eine Massendichte von . Sagt Ihnen das schon etwas über die Masse des gesamten Raumschiffs? Nein, tut es nicht! Gerade weil Sie diesen Wert nur an einem bestimmten Punkt kennen. Sie haben keine Informationen darüber, wie viel Wasser tatsächlich vorhanden ist. Es kann oder . $997 \frac{\text{g}}{\text{l}}$ $1\ \text{ml}$ $1\ \text{l}$

Angenommen, Sie kennen die Wassermenge, sagen wir . Durch einfache Multiplikation Sie ungefähr . Ich möchte darauf hinweisen, dass Sie gerade die Verkleidung integriert haben! Betrachten Sie das folgende Bild: $2\ \text{l}$ $997 \frac{\text{g}}{\text{l}} \cdot 2\ \text{l}$ $1994\ \text{g}$

Die von Ihnen berechnete Masse ist nur die grün schattierte rechteckige Fläche. Dies war nur als einfache Multiplikation möglich, da die Massendichte für die betrachtete Wassermenge konstant war und somit eine rechteckige Fläche ergab.

Was wäre, wenn Sie gemischte Formen von Wasser hätten, z. B. einige gasförmige, einige flüssige, einige bei unterschiedlichen Temperaturen und so weiter? Es könnte so aussehen:

Um nun die Masse zu berechnen, müssten Sie diese Massendichtefunktion über die Wassermenge integrieren. Sehen Sie jetzt die Funktionen parallel zur Wahrscheinlichkeitsdichte ? Um eine tatsächliche Wahrscheinlichkeit (vgl. Masse) zu erhalten, müssen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte (vgl. Massendichte) über einen bestimmten Bereich integrieren.

— ComFreek
quelle

@Downvoter: Könnten Sie bitte konstruktives Feedback in einen Kommentar aufnehmen? :)

— ComFreek