Ist die mittlere absolute Abweichung kleiner als die Standardabweichung für

Ich möchte die mittlere absolute Abweichung mit der Standardabweichung im allgemeinen Fall mit dieser Definition vergleichen:

M A D = \frac{1}{n - 1} \sum_{1}^{n} | x_{i} - μ |, S D = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} (x_{i} - μ)^{2}}{n - 1}}

$MAD = \frac{1}{n-1}\sum_1^n|x_i - \mu|, \qquad SD = \sqrt{\frac{\sum_1^n(x_i-\mu)^2}{n-1}}$

wobei $\mu =\frac{1}{n}\sum_1^n x_i$ .

Stimmt es, dass $MAD \le SD$ für jedes $\{x_i\}^n_1$ ?

Es ist falsch für $n=2$ , weil $x+y \ge \sqrt{x^2+y^2}$ für jedes. $x, y \ge 0$

Es ist leicht zu zeigen, dass:

M A D \leq \sqrt{\frac{n}{n - 1}} \times S D

$MAD \le \sqrt{\frac{n}{n-1}} \times SD$

mean standard-deviation mean-absolute-deviation

— Lisbeth
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Antworten:

Nein, im Allgemeinen ist das nicht wahr.

Eine einfache Möglichkeit, dies zu betrachten, ist die Simulation. Normalerweise hacke ich eine Endlosschleife zusammen, die stoppt, wenn sie ein Gegenbeispiel findet. Wenn es lange läuft, denke ich darüber nach, ob die Behauptung wahr sein könnte. Im vorliegenden Fall sieht mein R-Code folgendermaßen aus:

while ( TRUE ) {
    xx <- runif(3)
    mad <- sum(abs(xx-mean(xx)))/(length(xx)-1)
    sd <- sqrt(sum((xx-mean(xx))^2)/(length(xx)-1))
    if ( mad > sd ) break
}
xx

Es ergibt sich dieses Gegenbeispiel:

[1] 0.7852480 0.0760231 0.8295893

— Stephan Kolassa
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Das ist eine clevere Art, Simulationen zu verwenden! Ersparte mir die falsche Antwort, dass das Ergebnis aufgrund von Jensens Ungleichung immer gilt ... was anscheinend nicht anwendbar ist, wenn Sie durch

anstelle von

n - 1

$n-1$

n

$n$

— CloseToC dividieren

Ich denke jedoch, dass eine Antwort, die mit der mittleren Abweichung mit dem Nenner von vergleicht , meiner Meinung nach nützlich wäre, da sie dem Gegenbeispiel einen Kontext geben würde.

s_{n}

$s_n$

n

$n$

— Glen_b -Rate State Monica

Hier ist ein mathematischer Ansatz. Erstens ist es wahrscheinlich richtig, dass man durch eine Änderung von Variablen annehmen kann, dass der Mittelwert Null ist. Unter dem Gesichtspunkt, ein Gegenbeispiel zu finden, ist dies sicherlich akzeptabel. Wenn Sie also , beide Seiten der vorgeschlagenen Ungleichung quadrieren und mit (n-1) eins multiplizieren, bleibt die vorgeschlagene Ungleichung - $\mu = 0$

$(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|)^2 \leq (n-1)(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|^2))$

Das sieht faul aus. (n-1) reicht nicht aus, um alleBegriffe. Insbesondere wenn alle im absoluten Wert gleich sind. Meine erste Vermutung war n = 4 und . Dies führt zu . Ich würde denken, dass solche Dinge Menschen bekannt sind, die an Ungleichheiten interessiert sind. $|x_i| |x_j|$ $x_i$ $x_1 = x_2 =1, x_3=x_4 = -1$ $\frac{4}{3} \leq \sqrt{\frac{4}{3}}$

— meh
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n

$n$

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm 1$

M A D = \frac{n}{n - 1} > \sqrt{\frac{n}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n}{n-1} > \sqrt{\frac {n}{n-1}} = SD$

M A D \leq S D

$MAD \leq SD$

x_{i}

$x_i$

n

$n$

x_{0} = - 2

$x_0=-2$

x_{1} = x_{2} = 1

$x_1=x_2=1$

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm1$

M A D = \frac{n + 1}{n - 1} > \sqrt{\frac{n + 3}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n+1}{n-1} > \sqrt {\frac {n+3}{n-1}} = SD$

n - 1

$n-1$

n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2} (n + 3) (n - 1) = n^{2} + 2 n - 3

$n^2+2n+1 = (n+1)^2 \> (n+3)(n-1) =n^2+2n-3$

M A D > S D

$MAD > SD$

x_{i}

$x_i$

| x_{i} | | x_{j} |

$|x_i| |x_j|$

n^{2}

$n^2$

(n - 1)

$(n-1)$

x_{i}

$x_i$

@Martijn Ich habe nur gesagt, dass ein wenig Algebra den Weg zum Finden von Gegenbeispielen weist. Ich denke keineswegs, und ich glaube nicht, dass ich den Eindruck erweckt habe, dass die Ungleichung immer falsch oder wahr war.

— meh

Der Kommentar "(n-1) reicht nicht aus, um ... auszugleichen" klang für mich etwas schwierig. In einigen Fällen kann es ausreichen.

— Sextus Empiricus