Wie oft muss ein Ereignis mit bekannter Wahrscheinlichkeit wiederholt werden, bevor es mehrmals aufgetreten ist?

Wenn ich eine bekannte Wahrscheinlichkeit habe, dass ein Ereignis eintritt, eine Wahrscheinlichkeit von 1%, und ich möchte, dass das Ereignis mehrmals, 120 Mal, auftritt, ungefähr wie oft müsste ich das Ereignis wiederholen, bevor ich damit rechnen kann, dass es diese Zahl eintritt von Zeiten?

Betrachten Sie eine Folge von unabhängigen Versuchen mit der Erfolgswahrscheinlichkeit . Sei die Anzahl der Erfolge aus den Versuchen. Dann hat eine Binomialverteilung mit den Parametern und . Der erwartete Wert eines Binomial rv ist . Ein einfacher Ansatz besteht darin, dies auf und nach lösen . Da , haben wir was bedeutet, dass Versuche Erfolge erwarten .$n$$p$$X$$n$$X$$n$$p$$E(X) = np$$120$$n$$p=0.01$$n(0.01) = 120$$n=12,000$$120$

Alternativ ist hier ein verwandter Ansatz, der die Anzahl der Versuche angibt, die erforderlich sind, um Erfolge mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit (dh ) zu beobachten.$r=120$$\gamma$$\gamma=0.95$

Betrachten Sie eine Folge unabhängiger Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit . Sei die Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, um Erfolge zu beobachten . Dann hat eine negative Binomialverteilung mit den Parametern und . In Ihrem Fall , und Sie möchten so finden, dass$p$$X$$r$$X$$r$$p$$X \sim \text{Negative-Binomial}(120, 0.01)$$x$

Obwohl die negative Binomialverteilung keine Quantilfunktion in geschlossener Form hat, kann dieses leicht gelöst werden. Zum Beispiel kann die Antwort in R erhalten werden, indem Sie Folgendes eingeben : . Die Antwort zeigt an, dass Studien erforderlich sind, um eine 95% ige Chance zu haben, (oder mehr) Erfolge zu beobachten.$x$qnbinom(.95, 120, .01)$x=13728$$13,728$$120$

Zunächst gehe ich davon aus, dass die Experimente unabhängig sind, da Sie sagten, dass der wahrscheinliche Erfolg immer 1% beträgt. Das Schlüsselwort in Ihrer Frage lautet "erwartet". Dies bedeutet, dass wir nach einem Mittelwert oder einem erwarteten Wert suchen .

Wenn Sie an der Anzahl der Versuche (mit gemeinsamer Erfolgswahrscheinlichkeit ) interessiert sind , die erforderlich sind, um Erfolge zu erzielen , können Sie dies als negative binomiale Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion modellieren:$X$$p$$r$

für$x=r,r+1,...,$

Der erwartete Wert des negativen Binomials ist bekannt als:

In Ihrem Fall ist und . Die erwartete Anzahl unabhängiger Versuche Ihres Experiments (Zeiten), die erforderlich sind, um Erfolge zu erzielen, wird einfach durch$p=0.01$$r=120$$120$$120/0.01=12,000$

Wie andere angemerkt haben, folgt die Chance auf genügend Erfolg einer negativen Binomialverteilung. Es ist nützlich, dies zu zeichnen, und Sie können dies in R tun mit:

plot(function(x) pnbinom(x,120,0.01),120,20000)

Welches gibt:

Wie Sie sehen können, hat es eine Sigmoidform und es gibt große Gebiete mit praktisch keiner Chance und fast Sicherheit und einer schnellen Verschiebung zwischen den beiden nahe am erwarteten Wert. Daher kann eine Erhöhung der Anzahl der Versuche nur geringe oder sehr große Auswirkungen auf die Chance haben, das Ziel zu erreichen, je nachdem, für wie viele Sie sich bereits entschieden haben.

Wenn Sie diese Funktion anhand der Anzahl der Trails (dh der mittleren Chance pro Versuch) skalieren, können Sie sehen, dass es einen eindeutigen Maximalwert gibt.

plot(function(x) pnbinom(x,120,0.01)/x,120,20000)

mit denen Sie sich identifizieren können:

optimise(function(x) pnbinom(x,120,0.01)/x,c(120,20000),maximum=TRUE)
$maximum
[1] 13888

$objective
[1] 6.929301e-05

Wie Knrumsey sagt, folgt die Anzahl der Erfolge einer Binomialverteilung. Wenn Sie jedoch keine hohe Genauigkeit benötigen, ist 1% eine ausreichend kleine Zahl, um die Annäherung einer Poisson-Verteilung mit$\lambda=120\frac{1\%}{99\%}=1.2121$