Die Situation

Einige Forscher möchten Sie einschlafen lassen. Abhängig vom geheimen Wurf einer schönen Münze wecken sie Sie kurz entweder einmal (Köpfe) oder zweimal (Schwänze). Nach jedem Aufwachen werden Sie mit einer Droge wieder in den Schlaf versetzt, die Sie dieses Erwachen vergessen lässt. Inwieweit sollten Sie nach dem Aufwachen glauben, dass das Ergebnis des Münzwurfs Heads war?

(OK, vielleicht möchten Sie nicht Gegenstand dieses Experiments sein! Nehmen wir stattdessen an, dass Dornröschen (SB) dem zustimmt (natürlich mit vollständiger Zustimmung des Institutionsprüfungsausschusses von Magic Kingdom) schlaf seit einhundert jahren, also was sind noch ein oder zwei tage?)

[Detail einer Maxfield Parrish- Illustration.]

Bist du ein Halfer oder ein Thirder?

Die Halfer Position. Einfach! Die Münze ist fair - und SB weiß es - also sollte sie glauben, dass es eine halbe Chance für Köpfe gibt.

Die dritte Position. Würde dieses Experiment viele Male wiederholt, dann wäre die Münze nur ein Drittel der Zeit, in der SB geweckt wird, Kopf. Ihre Wahrscheinlichkeit für Köpfe wird ein Drittel betragen.

Dritte haben ein Problem

Die meisten, aber nicht alle, die darüber geschrieben haben, sind Dritte. Aber:

• Am Sonntagabend, kurz bevor SB einschläft, muss sie glauben, dass die Chance auf Köpfe die Hälfte ist: Das bedeutet, dass es eine faire Münze ist.

• Wann immer SB erwacht, hat sie absolut nichts gelernt, was sie am Sonntagabend nicht wusste. Welches vernünftige Argument kann sie dann vorbringen, um zu behaupten, dass ihr Glaube an Köpfe jetzt ein Drittel und nicht die Hälfte ist?

Einige Erklärungsversuche

• SB würde notwendigerweise Geld verlieren, wenn sie auf Köpfe mit einer anderen Quote als 1/3 wetten würde. (Vineberg, inter alios )

• Die eine Hälfte ist wirklich richtig: Verwenden Sie einfach die everettsche „Vielwelten“ -Interpretation der Quantenmechanik! (Lewis).

• SB aktualisiert ihren Glauben basierend auf der Selbstwahrnehmung ihres „zeitlichen Standorts“ in der Welt. (Elga, ia )

• SB ist verwirrt: „[Es scheint plausibler zu sein, zu sagen, dass ihr epistemischer Zustand beim Aufwachen keinen bestimmten Grad an Glauben an Köpfe beinhalten sollte. … Die eigentliche Frage ist, wie man mit bekannten, unvermeidbaren, kognitiven Störungen umgeht. “[Arntzenius]

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Die Frage

Unter Berücksichtigung dessen, was bereits zu diesem Thema geschrieben wurde (siehe die Referenzen sowie einen vorherigen Beitrag ), wie kann dieses Paradox statistisch rigoros gelöst werden? Ist das überhaupt möglich?

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Verweise

Arntzenius, Frank (2002). Überlegungen zur Dornröschenanalyse 62.1 S. 53-62.

Bradley, DJ (2010). Bestätigung in einer verzweigten Welt: Die Everett Interpretation und Dornröschen . Brit. J. Phil. Sci. 0 (2010), 1–21.

Elga, Adam (2000). Der Glaube an sich selbst und das Dornröschenproblem. Analyse 60, S. 143-7.

Franceschi, Paul (2005). Dornröschen und das Problem der Weltreduktion . Preprint.

Groisman, Berry (2007). Das Ende des Albtraums von Dornröschen . Preprint.

Lewis, D. (2001). Dornröschen: Antworte Elga . Analyse 61,3, S. 171-6.

Papineau, David und Victor Dura-Vila (2008). Ein Dreier und ein Everettianer: eine Antwort auf Lewis '' Quantum Sleeping Beauty ' .

Pust, Joel (2008). Horgan über Dornröschen . Synthese 160, S. 97-101.

Vineberg, Susan (undatiert, vielleicht 2003). Die warnende Geschichte der Schönheit .

Strategie

Ich würde gerne eine rationale Entscheidungstheorie auf die Analyse anwenden, da dies ein gut etablierter Weg ist, um die Genauigkeit bei der Lösung eines statistischen Entscheidungsproblems zu erreichen. Dabei stellt sich eine Schwierigkeit als besonders heraus: die Veränderung des Bewusstseins von SB.

• Die rationale Entscheidungstheorie hat keinen Mechanismus, um mit veränderten mentalen Zuständen umzugehen.

• Indem wir SB nach ihrer Glaubwürdigkeit im Münzwurf fragen, behandeln wir sie gleichzeitig auf eine etwas selbstreferenzielle Weise, sowohl als Subjekt (des SB-Experiments) als auch als Experimentator (in Bezug auf den Münzwurf).

Ändern wir das Experiment in unwesentlicher Weise: Statt das Medikament zur Gedächtnislöschung zu verabreichen, bereiten Sie kurz vor Beginn des Experiments einen Stall mit Dornröschen-Klonen vor. (Dies ist die Schlüsselidee, weil sie uns hilft, ablenkende - aber letztendlich irrelevante und irreführende - philosophische Probleme zu vermeiden.)

• Die Klone sind in jeder Hinsicht wie sie, einschließlich der Erinnerung und des Denkens.

• SB ist sich bewusst, dass dies passieren wird.

Wir können im Prinzip klonen. ET Jaynes ersetzt die Frage "Wie können wir ein mathematisches Modell des menschlichen gesunden Menschenverstandes aufbauen" - etwas, das wir brauchen, um das Dornröschen-Problem zu durchdenken - durch "Wie könnten wir eine Maschine bauen, die nützliche plausible Überlegungen ausführt, nach klar definierten Prinzipien, die einen idealisierten gesunden Menschenverstand ausdrücken? " Also, wenn Sie möchten, ersetzen Sie SB durch Jaynes 'Denkroboter und klonen Sie diesen.

(Es gab und gibt Kontroversen über "denkende" Maschinen.

"Sie werden niemals eine Maschine bauen, die den menschlichen Geist ersetzt - sie macht viele Dinge, die keine Maschine jemals tun könnte."

Sie bestehen darauf, dass es etwas gibt, das eine Maschine nicht kann. Wenn Sie mir genau sagen, was eine Maschine nicht kann, dann kann ich immer eine Maschine bauen, die genau das kann! “

--J. von Neumann, 1948. Zitiert von ET Jaynes in Wahrscheinlichkeitstheorie: Die Logik der Wissenschaft , p. 4.)

- Rube Goldberg

Das Dornröschen-Experiment wurde erneut durchgeführt

Bereiten Sie am Sonntagabend identische Kopien von SB (einschließlich SB selbst) vor. Sie alle gehen zur gleichen Zeit schlafen, möglicherweise für 100 Jahre. Wenn Sie SB während des Experiments aktivieren müssen, wählen Sie einen Klon nach dem Zufallsprinzip aus, der noch nicht aktiviert wurde. Das Erwachen erfolgt am Montag und, falls erforderlich, am Dienstag.$n \ge 2$

Ich behaupte, dass diese Version des Experiments genau die gleichen möglichen Ergebnisse liefert, bis hin zu den mentalen Zuständen und dem Bewusstsein von SB, mit genau den gleichen Wahrscheinlichkeiten. Dies ist möglicherweise ein wichtiger Punkt, an dem sich Philosophen entscheiden könnten, meine Lösung anzugreifen. Ich behaupte, es ist der letzte Punkt, an dem sie angreifen können, da die verbleibende Analyse routinemäßig und streng ist.

Nun wenden wir die üblichen statistischen Verfahren an. Beginnen wir mit dem Probenraum (der möglichen experimentellen Ergebnisse). Es sei "Montag erwacht" und T "Dienstag erwacht". Ebenso sei h "Kopf" und "t" "Zahl". Indizieren Sie die Klone mit den Ganzzahlen 1 , 2 , … , n . Dann können die möglichen experimentellen Ergebnisse als Menge geschrieben werden (was ich hoffe, ist eine transparente, selbstverständliche Notation)$M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

Montag Wahrscheinlichkeiten

Als einer der SB-Klone schätzen Sie Ihre Chance, am Montag während eines Heads-up-Experiments geweckt zu werden, auf mal ( 1 / n- Chance, dass ich der Klon bin, der geweckt wird). Technischer ausgedrückt:$1/2$$1/n$

• Die Menge der Kopfergebnisse ist . Es gibt n von ihnen.$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• Das Ereignis, bei dem Sie mit Köpfen geweckt werden, ist .$h(i) = \{hM_i\}$

• $i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

Dienstag Wahrscheinlichkeiten

• Die Menge der ist . Es gibt von ihnen. Alle sind gleich wahrscheinlich.n ( n - 1 $t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• Sie, Klon , werden in dieser Fälle geweckt ; Nämlich die Möglichkeiten, wie Sie am Montag geweckt werden können (es gibt verbleibende Klone, die am Dienstag geweckt werden müssen) sowie die Möglichkeiten, wie Sie am Dienstag geweckt werden können (es gibt mögliche Montag-Klone). Nenne dieses Ereignis .( n - 1 ) + ( n - 1 ) = 2 ( n - 1 ) n - 1 n - 1 n - 1 n - 1 t ( i $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$$n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• Ihre Chance, während eines Tails-Up-Experiments geweckt zu werden, beträgt

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

Satz von Bayes

Jetzt, da wir so weit gekommen sind, beendet Bayes 'Theorem - eine mathematische Tautologie, die unbestritten ist - die Arbeit. Die Chance eines Klons auf Köpfe ist daher

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

Da SB nicht von ihren Klonen zu unterscheiden ist - auch nicht für sich selbst! -, ist dies die Antwort, die sie geben sollte, wenn sie nach ihrem Grad an Glauben an Köpfe gefragt wird.

Interpretationen

Die Frage "Was ist die Wahrscheinlichkeit von Köpfen ?" Hat zwei sinnvolle Interpretationen für dieses Experiment: Sie kann nach der Chance fragen, dass eine faire Münze Köpfe landet, die (die Halfer-Antwort) ist, oder sie kann Fragen Sie nach der Chance, dass die Münze Köpfe landet, abhängig von der Tatsache, dass Sie der erwachte Klon waren. Dies ist (die Dreierantwort).Pr [ h | t ( i ) ∪ h ( i ) ] = 1 /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

In der Situation, in der sich SB (oder vielmehr eine der identisch vorbereiteten Jaynes-Denkmaschinen) befindet, diese Analyse - die viele andere durchgeführt haben (aber ich denke weniger überzeugend, weil sie die philosophischen Ablenkungen nicht so klar beseitigt haben in den experimentellen Beschreibungen) - unterstützt die Thirder-Antwort.

Die Halfer-Antwort ist richtig, aber uninteressant, weil sie für die Situation, in der sich SB befindet, nicht relevant ist. Dies löst das Paradoxon.

Diese Lösung wird im Rahmen eines einzelnen genau definierten Versuchsaufbaus entwickelt. Die Klärung des Experiments klärt die Frage. Eine klare Frage führt zu einer klaren Antwort.

Bemerkungen

Ich vermute, dass Sie nach Elga (2000) unsere bedingte Antwort legitimerweise als "Zählen Ihres eigenen zeitlichen Ortes als relevant für die Wahrheit von h" charakterisieren könnten, aber diese Charakterisierung fügt dem Problem keine Einsicht hinzu: Sie beeinträchtigt nur die mathematischen Fakten im Beweis. Für mich scheint es nur eine undurchsichtige Behauptung zu sein, dass die "Klon" -Interpretation der Wahrscheinlichkeitsfrage die richtige ist.

Diese Analyse legt nahe, dass das zugrunde liegende philosophische Problem die Identität ist : Was passiert mit den Klonen, die nicht erweckt werden? Welche kognitiven und noetischen Beziehungen bestehen zwischen den Klonen? - Aber diese Diskussion ist keine Frage statistischer Analyse. es gehört in ein anderes forum .

Vielen Dank für diesen brillanten Beitrag (+1) und die Lösung (+1). Dieses Paradoxon bereitet mir schon Kopfschmerzen.

Ich habe nur an die folgende Situation gedacht, die keine Feen, Wunder oder Zaubertränke erfordert. Werfen Sie am Montagmittag eine schöne Münze. Schicken Sie bei 'Tails' eine Mail an Alice und Bob (auf eine Weise, dass sie nicht wissen, dass der andere eine Mail von Ihnen erhalten hat und dass sie nicht kommunizieren können). Senden Sie bei "Heads" eine E-Mail nach dem Zufallsprinzip (mit einer Wahrscheinlichkeit von ) an einen von ihnen .$1/2$

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf "Heads" landet, wenn Alice eine Mail erhält? Die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Brief erhält, ist , und die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf 'Heads' landet, ist .1 /$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

Hier gibt es kein Paradox, weil Alice keinen Brief mit einer Wahrscheinlichkeit von erhält. In diesem Fall weiß sie, dass die Münze auf "Heads" gelandet ist. Die Tatsache, dass wir sie in diesem Fall nicht nach ihrer Meinung fragen, macht diese Wahrscheinlichkeit gleich 0 .$1/4$

Was ist der Unterschied? Warum sollte Alice Informationen durch den Empfang einer Mail erhalten und SB würde erfahren, dass nichts erwacht ist?

In einer wunderbareren Situation versetzen wir 2 verschiedene SB in den Schlaf. Wenn die Münze auf "Tails" landet, wecken wir beide, wenn sie auf "Heads" landet, wecken wir zufällig einen von ihnen. Auch hier sollte jeder SB sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf "Heads" landet, beträgt und es wiederum kein Paradox gibt, da die Wahrscheinlichkeit, dass dieser SB nicht geweckt wird, beträgt .1 /$1/3$$1/4$

Diese Situation kommt dem ursprünglichen Paradox sehr nahe, da das Löschen des Speichers (oder das Klonen) zwei verschiedenen SBs entspricht. Also bin ich mit @Douglas Zare hier (+1). SB hat durch das Erwachen etwas gelernt. Die Tatsache, dass sie am Dienstag ihre Meinung nicht äußern kann, wenn die Münze "Heads up" ist, weil sie schläft, löscht nicht die Information, die sie hat, indem sie geweckt wird.

Meiner Meinung nach liegt das Paradox darin, " sie hat absolut nichts gelernt, was sie am Sonntagabend nicht wusste ", was ohne Begründung angegeben wird. Wir haben diesen Eindruck, weil die Situationen, in denen sie aufgewacht ist, identisch sind, aber das ist genauso, als würde Alice eine Mail erhalten: Es ist die Tatsache, dass sie nach ihrer Meinung gefragt wird, die ihre Informationen gibt.

MAJOR EDIT : Nachdem ich mir Gedanken gemacht habe, ändere ich meine Meinung: Dornröschen hat nichts gelernt und das obige Beispiel ist kein gutes Analogon zu ihrer Situation.

Aber hier ist ein gleichwertiges Problem, das nicht paradox ist. Ich könnte das folgende Spiel mit Alice und Bob spielen: Ich werfe eine Münze heimlich und setze sie unabhängig 1 $ , damit sie es nicht erraten können. Wenn die Münze jedoch auf "Tails" landet, wird der Einsatz von Alice of Bob storniert (Geld wechselt nicht die Hand). Worauf sollten sie wetten, wenn sie die Regeln kennen?

"Köpfe" offensichtlich. Wenn die Münze auf "Heads" landet, gewinnen sie 1 $ , andernfalls verlieren sie durchschnittlich 0,5 $ . Bedeutet das, dass sie glauben, dass die Münze eine 2/3 Chance hat, auf 'Heads' zu landen? Sicher nicht. Das Protokoll ist einfach so, dass sie nicht für jede Antwort den gleichen Geldbetrag erhalten.

Ich glaube, Dornröschen ist in der gleichen Situation wie Alice oder Bob. Die Ereignisse geben ihr keine Informationen über den Wurf , aber wenn sie gebeten wird, zu wetten, sind ihre Gewinnchancen aufgrund asymmetrischer Gewinne nicht 1: 1. Ich glaube, dass dies @whuber bedeutet

Die Halfer-Antwort ist richtig, aber uninteressant, weil sie für die Situation, in der sich SB befindet, nicht relevant ist. Dies löst das Paradoxon.

"Wann immer SB erwacht, hat sie absolut nichts gelernt, was sie am Sonntagabend nicht wusste." Das ist falsch, genauso falsch wie zu sagen: "Entweder ich gewinne die Lotterie oder ich weiß nicht, also beträgt die Wahrscheinlichkeit ." Sie hat gelernt, dass sie aufgewacht ist. Das sind Informationen. Jetzt sollte sie glauben, dass jedes mögliche Erwachen gleich wahrscheinlich ist, nicht jeder Münzwurf.$50\%$

Wenn Sie ein Arzt sind und ein Patient in Ihre Praxis kommt, haben Sie erfahren, dass der Patient in eine Arztpraxis gegangen ist, was Ihre Einschätzung gegenüber der vorherigen ändern sollte. Wenn alle zum Arzt gehen, aber die kranke Hälfte der Bevölkerung mal so oft wie die gesunde Hälfte, dann weiß man, dass der Patient wahrscheinlich krank ist, wenn er hereinkommt.$100$

Hier ist eine weitere kleine Variation. Angenommen, was auch immer das Ergebnis des Münzwurfs war, Dornröschen wird zweimal geweckt. Wenn es sich jedoch um Schwänze handelt, wird sie zweimal schön aufgeweckt. Wenn es Köpfe sind, wird sie einmal schön geweckt und einmal wird ein Eimer Eis auf sie geworfen. Wenn sie in einem Haufen Eis aufwacht, hat sie die Information, dass die Münze hochgekommen ist. Wenn sie schön aufwacht, hat sie die Information, dass die Münze wahrscheinlich nicht aufgeht. Sie kann keinen nicht-entarteten Test haben, dessen positives Ergebnis (Eis) ihre Köpfe wahrscheinlicher macht, ohne dass das negative Ergebnis (schön) anzeigt, dass Köpfe weniger wahrscheinlich sind.

Das Paradox liegt im Perspektivenwechsel zwischen einem einzelnen Experiment und seinem Grenzpunkt. Wenn die Anzahl der Experimente berücksichtigt wird, können Sie dies noch genauer verstehen als das "Entweder / Oder" von Halvers und Thirders:

Einzelexperiment: Halver haben recht

Wenn es ein einzelnes Experiment gibt, gibt es drei Ergebnisse, und Sie müssen nur die Wahrscheinlichkeiten aus der Perspektive des Erwachten berechnen:

1. Köpfe wurden geworfen: 50%
2. Die Schwänze wurden geworfen und dies ist mein erstes Erwachen: 25%
3. Die Schwänze wurden geworfen und dies ist mein zweites Erwachen: 25%

Also, in einem einzigen Experiment, bei jedem Wakeup Fall sollten Sie 50:50 davon ausgehen , dass Sie in einem Zustand sind , wo Köpfe geworfen wurden

Zwei Experimente: 42% der Befragten haben Recht

Probieren Sie jetzt zwei Experimente aus:

1. Die Köpfe wurden zweimal geworfen: 25% (für beide Erwachen zusammen)
2. Der Schwanz wurde zweimal geworfen: 25% (für alle vier Erwachen zusammen)
3. Köpfe dann Schwänze und dies ist mein erstes Erwachen: 25% / 3
4. Köpfe dann Schwänze und dies ist mein 2. oder 3. Erwachen: 25% * 2/3
5. Schwänze dann Köpfe und dies ist mein 1. oder 2. Erwachen: 25% * 2/3
6. Schwänze dann Köpfe und dies ist mein 3. Erwachen: 25% / 3.

Hier sind also {1, 3, 6} Ihre Heads-Zustände mit einer kombinierten Wahrscheinlichkeit von (25 + 25/3 + 25/3)%, 41,66%, was weniger als 50% ist. Wenn bei einem Aufweckereignis zwei Experimente durchgeführt werden, sollten Sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 41,66% davon ausgehen, dass Sie sich in einem Zustand befinden, in dem Heads geworfen wurde

Unendliche Experimente: Dritte haben Recht

Ich werde hier nicht rechnen, aber wenn Sie sich die Optionen für zwei Experimente ansehen, können Sie sehen, dass Nr. 1 und Nr. 2 es zur Hälfte und der Rest zu Dritteln treiben. Wenn die Anzahl der Experimente zunimmt, werden die Optionen, die in Richtung der Hälften fahren (alle Köpfe / alle Schwänze), mit einer Wahrscheinlichkeit von bis zu Null sinken, so dass die "Drittel" -Optionen übernommen werden können. Wenn unendliche Experimente durchgeführt werden, sollten Sie bei jedem Aufweckereignis eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 annehmen, dass Sie sich in einem Zustand befinden, in dem Köpfe geworfen wurden

Retorten vorenthalten:

Aber spielen?

Ja, in der Einzelexperiment-Instanz sollten Sie immer noch zu Dritteln "zocken". Dies ist keine Inkonsistenz. Es liegt nur daran, dass Sie bei einem bestimmten Ergebnis möglicherweise mehrmals dieselbe Wette platzieren und dies im Voraus wissen. (Oder wenn Sie nicht, tut die Mafia).

Okay, wie wäre es mit zwei einzelnen Experimenten? Diskrepanz viel?

Nein, weil das Wissen darüber, ob Sie am ersten oder am zweiten Experiment teilnehmen, zu Ihrem Wissen beiträgt. Schauen wir uns die "zwei Experimente" -Optionen an und filtern sie nach dem Wissen, dass Sie sich im ersten Experiment befinden.

1. Anwendbar für das erste Erwachen (1/2)
2. Anwendbar für die ersten beiden Erwachen (2/4)
3. Anwendbar
4. Nie zutreffend
5. Anwendbar für das erste Erwachen (1/2)
6. Unzutreffend

Okay, nimm die Heads ones (1,3,6) multipliziere diese, Gewinnchancen nach Anwendbarkeit: 25/2 + 25/3 + 0 = 125/6.

Nehmen Sie nun die Schwänze (2,4,5) und machen Sie dasselbe: 25 * 4/2 + 0 + 25 * (2/3) / 2 = 125/6.

Viola, sie sind gleich. Die hinzugefügten Informationen darüber, an welchem ​​Experiment Sie tatsächlich teilnehmen, passen die Chancen für das an, was Sie wissen.

Aber die Klone !!

Einfach ausgedrückt, entgegen dem Postulat der Antwort des OP erzeugt , dass das Klonen ein äquivalentes Experiment: Klonen und zufällige Auswahl macht das Wissen der Probanden ändern, auf die gleiche Art und Weise „mehrere Experimente“ ändert das Experiment. Wenn es zwei Klone gibt, können Sie sehen, dass die Wahrscheinlichkeiten jedes Klons den Wahrscheinlichkeiten für zwei Experimente entsprechen . Unendliche Klone konvergieren gegen Dritte. Aber es ist nicht dasselbe Experiment und es ist nicht dasselbe Wissen wie ein einzelnes Experiment mit einem einzelnen nicht zufälligen Subjekt.

Sie sagen "Zufall von unendlich" und ich sage Axiom of Choice Abhängigkeit

Ich weiß nicht, meine Mengenlehre ist nicht so gut. Aber wenn N kleiner als unendlich ist, können Sie eine Sequenz aufstellen, die von der Hälfte zu einem Drittel konvergiert. Der unendliche Fall, der einem Drittel entspricht, ist entweder wahr oder im schlimmsten Fall unentscheidbar, unabhängig davon, welche Axiome Sie aufrufen.

Lassen Sie uns das Problem variieren.

Wenn die Münze Heads kommt, wird SB niemals geweckt.

Wenn Tails, dann wird SB einmal geweckt.

Jetzt sind die Lager Halfers und Zeroers. Und klar sind die Nullen richtig.

Oder: Köpfe -> einmal geweckt; Schwänze -> millionenfach geweckt. Wenn sie wach ist, ist es wahrscheinlich ein Schwanz.

(PS Zum Thema "Neue Informationen" - Informationen wurden möglicherweise ZERSTÖRT. Eine andere Frage lautet also: Hat sie Informationen verloren, die sie einmal hatte?)

"Wann immer SB erwacht, hat sie absolut nichts gelernt, was sie am Sonntagabend nicht wusste."

Dies ist nicht korrekt, was der Fehler im halfer-Argument ist. Eine Sache, die es schwierig macht, dagegen zu argumentieren, ist, dass das auf dieser Aussage basierende Argument der Halfer selten strenger zum Ausdruck kommt als das, was ich zitiert habe.

Es gibt drei Probleme. Erstens definiert das Argument nicht, was "neue Information" bedeutet. Es scheint zu bedeuten "Ein Ereignis, das ursprünglich eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null hatte, kann auf der Grundlage der Beweise nicht aufgetreten sein." Zweitens zählt es nie auf, was am Sonntag bekannt ist, um zu sehen, ob es zu dieser Definition passt. und es kann, wenn du es richtig siehst. Schließlich gibt es keinen Satz, der besagt: "Wenn Sie keine neuen Informationen dieser Art haben, können Sie diese nicht aktualisieren." Wenn Sie es haben, wird Bayes Theorem ein Update erstellen. Es ist jedoch ein Trugschluss, wenn Sie diese neuen Informationen nicht haben und nicht aktualisieren können. Ein Irrtum zu sein bedeutet nicht, dass es nicht wahr ist, es bedeutet, dass Sie diese Schlussfolgerung nicht allein auf der Grundlage dieser Beweise ziehen können.

In der Sonntagsnacht würfelt SB einen imaginären sechsseitigen Würfel. Da es imaginär ist, kann sie das Ergebnis nicht sehen. Der Zweck besteht jedoch darin, festzustellen, ob es dem Tag entspricht, an dem sie wach ist: Eine gerade Zahl bedeutet, dass es dem Montag entspricht, und eine ungerade Zahl bedeutet, dass der Dienstag. Aber es kann nicht beides zusammenbringen, was die beiden Tage effektiv unterscheidet.

SB kann nun (dh am Sonntag) die Wahrscheinlichkeit für die acht möglichen Kombinationen von {Heads / Tails, Montag / Dienstag, Match / No Match} berechnen. Jeder wird 1/8 sein. Aber wenn sie wach ist, weiß sie, dass {Heads, Tuesday, Match} und {Heads, Tuesday, No Match} nicht stattgefunden haben. Dies stellt eine "neue Information" der Form dar, von der das Argument von Halfers sagt, dass sie nicht existiert, und es ermöglicht SB, die Wahrscheinlichkeit zu aktualisieren, dass die Münze des Forschers auf den Köpfen landet. Es ist 1/3, ob ihre imaginäre Münze zum aktuellen Tag passt oder nicht. Da es so oder so dasselbe ist, ist es 1/3, ob sie weiß, ob es eine Übereinstimmung gibt oder nicht; und in der Tat, ob sie würfelt oder sich vorstellt, den Würfel zu würfeln.

Dieser zusätzliche Würfel scheint viel zu kosten, um ein Ergebnis zu erzielen. Tatsächlich ist es nicht notwendig, aber Sie benötigen eine andere Definition von "neuen Informationen", um zu sehen, warum. Die Aktualisierung kann immer dann erfolgen, wenn sich die signifikanten (dh unabhängigen und nicht mit einer Wahrscheinlichkeit von Null) Ereignisse im vorherigen Probenraum von den signifikanten Ereignissen im hinteren Probenraum unterscheiden. Auf diese Weise ist der Nenner des Verhältnisses im Bayes-Theorem nicht 1. Während dies normalerweise der Fall ist, wenn der Beweis dafür sorgt, dass einige Ereignisse eine Wahrscheinlichkeit von Null aufweisen, kann dies auch auftreten, wenn sich der Beweis ändert, ob Ereignisse unabhängig sind. Dies ist eine sehr unorthodoxe Interpretation, aber sie funktioniert, weil der Schönheit mehr als eine Gelegenheit gegeben wird, ein Ergebnis zu beobachten. Und der Punkt meines imaginären Würfels, der die Tage auszeichnete, bestand darin, das System zu einem zu machen, bei dem die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 war.

Am Sonntag weiß SB, dass P (Wach, Montag, Kopf) = P (Wach, Montag, Schwanz) = P (Wach, Dienstag, Schwanz) = 1/2 ist. Diese summieren sich auf mehr als die Hälfte, da die Ereignisse nicht unabhängig sind, basierend auf den Informationen, die SB am Sonntag hat. Aber sie sind unabhängig, wenn sie wach ist. Die Antwort lautet nach dem Bayes-Theorem (1/2) / (1/2 + 1/2 + 1/2) = 1/3. Es ist nichts Falsches an einem Nenner, der größer als 1 ist; Aber das imaginäre Münzargument sollte das Gleiche ohne einen solchen Nenner erreichen.

Ich bin nur darüber gestolpert. Ich habe einige meiner Gedanken seit diesem letzten Beitrag verfeinert und dachte, ich könnte hier ein aufnahmefähiges Publikum für sie finden.

Zunächst zur Philosophie, wie man eine solche Kontroverse angeht: Sagen wir, Argumente A und B existieren. Jeder hat eine Prämisse, eine Folge von Abzügen und ein Ergebnis; und die Ergebnisse unterscheiden sich.

Der beste Weg, um zu beweisen, dass ein Argument falsch ist, besteht darin, einen seiner Abzüge ungültig zu machen. Wenn das hier möglich wäre, gäbe es keine Kontroverse. Eine andere ist, die Prämisse zu widerlegen, aber das kann man nicht direkt tun. Sie können argumentieren, warum Sie einem nicht glauben, aber das wird nichts auflösen, wenn Sie nicht andere davon überzeugen können, es nicht mehr zu glauben.

Um indirekt zu beweisen, dass eine Prämisse falsch ist, müssen Sie eine alternative Folge von Abzügen daraus bilden, die zu einer Absurdität oder zu einem Widerspruch der Prämisse führt. Der trügerische Weg ist zu argumentieren, dass das gegnerische Ergebnis Ihre Prämisse verletzt. Das bedeutet, dass man falsch liegt, aber es zeigt nicht an, welche.

+++++

Die Prämisse des Halfers ist "keine neuen Informationen". Ihre Abzugsreihenfolge ist leer - es werden keine benötigt. Pr (Köpfe | Wach) = Pr (Köpfe) = 1/2.

Die Dritten (insbesondere Elga) haben zwei Prämissen: Pr (H1 | Wach und Montag) = Pr (T1 | Wach und Montag) und Pr (T1 | Wach und Schwanz) = Pr (T2 | Wach und Schwanz). Eine unbestreitbare Folge von Abzügen führt dann zu Pr (Heads | Awake) = 1/3.

Beachten Sie, dass die Drittanbieter niemals davon ausgehen, dass es neue Informationen gibt - ihre Räumlichkeiten basieren auf den vorhandenen Informationen - "neu" oder nicht -, wenn SB wach ist. Und ich habe noch nie jemanden gesehen, der sich dafür auseinandersetzte, warum eine dritte Prämisse falsch ist, mit der Ausnahme, dass sie das Halfer-Ergebnis verletzt. Die Halber haben also keines der gültigen Argumente angegeben, die ich aufgelistet habe. Nur der Trüger.

Es sind jedoch auch andere Abzüge von "Keine neuen Informationen" möglich, wobei eine Abzugsfolge mit Pr (Heads | Awake) = 1/2 beginnt. Eines ist, dass Pr (Köpfe | Wach und Montag) = 2/3 und Pr (Schwänze | Wach und Montag) = 1/3 ist. Dies widerspricht der dreizehnten Prämisse, aber wie gesagt, das hilft der halfer Ursache nicht, da es immer noch ihre Prämisse sein könnte, die falsch ist. Ironischerweise beweist dieses Ergebnis etwas - dass die halfer Prämisse sich selbst widerspricht. Am Sonntag sagt SB Pr (Heads | Monday) = Pr (Tails | Monday), sodass sie durch Hinzufügen der Informationen "Awake" diese Wahrscheinlichkeiten aktualisieren konnte. Es sind neue Informationen.

Ich habe also bewiesen, dass die halfer Prämisse nicht richtig sein kann. Das bedeutet nicht, dass die Dritten Recht haben, aber es bedeutet, dass die Halber keine gegenteiligen Beweise vorgelegt haben.

+++++

Ein anderes Argument finde ich überzeugender. Es ist nicht ganz original, aber ich bin mir nicht sicher, ob der richtige Standpunkt genug betont wurde. Betrachten Sie eine Variation des Experiments: SB wird immer an beiden Tagen geweckt; normalerweise ist es in einem Raum, der blau gestrichen ist, aber am Dienstag nach Heads ist es in einem Raum, der rot gestrichen ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit von Heads, wenn sie in einem blauen Raum wach ist?

Ich glaube nicht, dass irgendjemand ernsthaft argumentieren würde, dass es alles andere als 1/3 ist. Es gibt drei Situationen, die ihrer jetzigen entsprechen könnten, alle sind gleich wahrscheinlich und nur eine beinhaltet Köpfe.

Der springende Punkt ist, dass es keinen Unterschied zwischen dieser Version und dem Original gibt. Was sie "weiß" - ihre "neuen Informationen" - ist, dass es nicht H2 ist. Es ist egal, wie oder WENN sie wissen würde, dass es H2 sein könnte, wenn es könnte. Ihre Fähigkeit, Situationen zu beobachten, von denen sie weiß, dass sie nicht zutreffen, ist unerheblich, wenn sie weiß, dass sie nicht zutreffen.

Ich kann die halfer Prämisse nicht fassen. Es basiert auf einer Tatsache - dass sie H2 nicht beobachten kann -, die keine Rolle spielt, da sie beobachten kann und tut, dass es nicht H2 ist.

Ich hoffe also, dass ich ein überzeugendes Argument dafür geliefert habe, warum die halfer-Prämisse ungültig ist. Auf dem Weg dahin habe ich bewiesen, dass das dritte Ergebnis korrekt sein muss.

Ein Drittel des möglichen Weckens sind Kopf-Wecks und zwei Drittel des möglichen Weckens sind Schwanz-Wecks. Eine Hälfte der Prinzessinnen (oder was auch immer) sind Heads-Prinzessinnen und eine Hälfte Tails-Prinzessinnen. Die Tails-Prinzessinnen erleben einzeln und insgesamt doppelt so viele Weckvorgänge wie die Heads-Prinzessinnen.

$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

Ich habe Vinebergs Argumentation nicht gelesen, aber ich glaube, ich kann sehen, wie sie zu einem fairen Einsatz von 1 / 3- . Angenommen, jedes Mal, wenn eine Prinzessin aufwacht, setzt sie $ x darauf, dass sie eine Heads-Prinzessin ist, und erhält $ 1, wenn sie tatsächlich eine Heads-Prinzessin ist, und ansonsten $ 0. Dann erhält eine Heads-Prinzessin $ ( 1 - x ) und eine Tails-Prinzessin jedes Mal $ ( - x ), wenn sie spielt. Da die Tails-Prinzessinnen zweimal spielen müssen und die Hälfte der Prinzessinnen Heads-Prinzessinnen sind, beträgt die erwartete Rendite $ $\$1/3$$\$x$$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

$1/3$

(Auf der anderen Seite hätte ein Techniker, der beauftragt wurde, den Aufwachprozess zu unterstützen, nur eine Drittel-Chance, einer Heads-Prinzessin zugeteilt zu werden.)

Inwieweit sollten Sie nach dem Aufwachen glauben, dass das Ergebnis des Münzwurfs Heads war?

Was meinst du mit " sollte "? Was sind die Konsequenzen meiner Überzeugungen? In einem solchen Experiment würde ich nichts glauben. Diese Frage ist markiert als decision-theory, aber so wie dieses Experiment konzipiert ist, habe ich keinen Anreiz, eine Entscheidung zu treffen.

Wir können das Experiment auf verschiedene Arten modifizieren, so dass ich geneigt bin, eine Antwort zu geben. Zum Beispiel könnte ich eine Vermutung anstellen, ob ich wegen "Köpfen" oder "Schwänzen" aufgewacht bin, und für jede richtige Antwort, die ich gebe, würde ich eine Süßigkeit verdienen . In diesem Fall würde ich mich natürlich für "Tails" entscheiden, da ich in wiederholten Experimenten durchschnittlich eine Süßigkeit pro Experiment verdienen würde: In 50% der Fälle würde der Wurf "Tails" lauten zweimal wach sein und ich würde beide Male eine Süßigkeit verdienen. Bei den anderen 50% ("Köpfe") würde ich nichts verdienen. Wenn ich auf "Heads" antworte, verdiene ich pro Experiment nur eine halbe Süßigkeit, da ich nur eine Antwortchance bekomme und in 50% der Fälle richtig liege. Wenn ich selbst eine faire Münze für die Antwort werfen würde, würde ich$3/4$

$3/8$$1/4$$1/4$$1/8$

Wie kann dieses Paradox statistisch konsequent gelöst werden? Ist das überhaupt möglich?

Definieren Sie " statistisch streng ". Die Frage nach einem Glauben ist von keiner praktischen Relevanz. Nur Aktionen sind wichtig.

Die Frage ist nicht eindeutig und es scheint daher nur ein Paradoxon zu geben. Die Frage stellt sich folgendermaßen:

Inwieweit sollten Sie nach dem Aufwachen glauben, dass das Ergebnis des Münzwurfs Heads war?

Welches ist mit dieser Frage verwechselt:

Inwieweit sollten Sie glauben, dass Köpfe der Grund waren, warum Sie aufgewacht sind, wenn Sie aufgewacht sind ?

In der ersten Frage ist die Wahrscheinlichkeit 1/2. In der zweiten Frage 1/3.

Das Problem ist, dass die erste Frage gestellt wird, die zweite Frage jedoch im Kontext des Experiments impliziert ist . Diejenigen, die die Implikation unbewusst akzeptieren, sagen, es sei 1/3. Diejenigen, die die Frage lesen, sagen wörtlich, dass es 1/2 ist.

Diejenigen, die verwirrt sind, sind sich nicht sicher, welche Frage sie stellen!

Ich mag dieses Beispiel wirklich, aber ich würde argumentieren, dass es einen Punkt gibt, der mit ein paar lästigen Ablenkungen verwechselt werden muss.

Um störende Ablenkungen zu vermeiden, sollte man versuchen, eine abstrakte grafische Darstellung des Problems zu erkennen, die zweifelsfrei (als angemessene Darstellung) und nachweislich manipuliert werden kann (von qualifizierten anderen erneut manipuliert werden), um die Behauptungen zu demonstrieren. Stellen Sie sich als einfaches Beispiel ein (abstraktes mathematisches) Rechteck vor und die Behauptung, dass es in zwei Dreiecke unterteilt werden kann.

Zeichnen Sie ein Freihandrechteck als Repräsentation eines mathematischen Rechtecks ​​(in Ihrer Zeichnung addieren sich die vier Winkel nicht genau zu 180 Grad und die angrenzenden Linien sind nicht genau gleich oder gerade, aber es besteht kein wirklicher Zweifel, dass es ein echtes Rechteck darstellt ). Nun manipulieren Sie es, indem Sie eine Linie von einer gegenüberliegenden Ecke zur anderen ziehen, was jeder andere tun kann, und Sie erhalten eine Darstellung von zwei Dreiecken, an der niemand vernünftigerweise zweifeln würde. Jede Befragung von kann dies so sein, scheint Quatsch, es ist einfach so.

Der Punkt, den ich hier ansprechen möchte, ist, dass, wenn Sie zweifelsohne eine Darstellung des SB-Problems als gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung erhalten und von einem Ereignis abhängig machen können, das im Experiment in dieser Darstellung auftritt, behauptet wird, dass etwas gelernt wurde durch dieses Ereignis kann durch nachweisbare Manipulation gezeigt werden und erfordern keine (philosophische) Diskussion oder Befragung.

Jetzt präsentiere ich meinen Versuch besser und die Leser müssen erkennen, ob ich erfolgreich war. Ich werde einen Wahrscheinlichkeitsbaum verwenden, um die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten für den Tagesschlaf in den Experimenten (DSIE), das Münzwurfergebnis am Montag (CFOM) und den Weckruf abzubilden, sofern einer im Experiment (WGSIE) geschlafen hat. Ich werde es in Form von p (DSIE) * p (CFOM | DSIE) * p (WGSIE | DSIE, CFOM) zeichnen (eigentlich nur hier ausschreiben).

Ich möchte DSIE und CFOM als mögliche Unbekannte bezeichnen und WGSIE als mögliches Bekanntes, dann ist p (DSIE, CFOM) ein Vorgänger und p (WGSIE | DSIE, CFOM) ein Datenmodell oder eine Wahrscheinlichkeit und Bayes-Theorem gilt, ohne dass es diese Bezeichnung gibt nur bedingte Wahrscheinlichkeit, die logisch dasselbe ist.

Jetzt kennen wir p (DSIE = Mo) + p (DSIE = Di) = 1 und p (DSIE = Di) = ½ p (DSIE = Mo)

also p (DSIE = Mo) = 2/3 und p (DSIE = Di) = 1/3.

Jetzt ist P (CFOM = H | DSIE = Mo) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Mo) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Di) = 1.

P (WGSIE | DSIE =., CFOM =.) Ist immer gleich eins.

Prior ist gleich

P (DSIE = Mon, CFOM = H) = 2/3 · 1/2 = 1/3

P (DSIE = Mon, CFOM = T) = 2/3 · 1/2 = 1/3

P (DSIE = Di, CFOM = T) = 1/3 * 1 = 1/3

Die minimale Priorität für CFOM = 1/3 H und 2/3 T und die posteriore, die Sie während des Schlafens im Experiment geweckt haben, ist dieselbe (da kein Lernen stattfindet), sodass Ihre Priorität 2/3 T beträgt.

OK - wo bin ich falsch gelaufen? Muss ich meine Wahrscheinlichkeitstheorie überprüfen?

Eine einfache Erklärung dafür wäre, dass es drei Möglichkeiten gibt, wie Dornröschen aufwachen kann, von denen zwei von einem Schwanzwurf stammen. Die Wahrscheinlichkeit muss also bei jedem Aufwachen 1/3 für einen Kopf betragen. Ich habe es in einem skizzierte Blog Post

Das Hauptargument gegen den "halfer" Standpunkt ist das Folgende: In einem bayesianischen Sinne ist SB immer auf der Suche nach neuen Informationen, die sie hat. In Wirklichkeit hat sie in dem Moment, in dem sie sich entschlossen hat, an dem Experiment teilzunehmen, zusätzliche Informationen, die, wenn sie aufwacht, in den Tagen sein könnten. Mit anderen Worten: Der Mangel an Informationen (das Löschen der Erinnerung) liefert hier jedoch subtil die Beweise.

Wie viele Fragen, hängt es von der genauen Bedeutung der Frage ab:

Inwieweit sollten Sie nach dem Aufwachen glauben, dass das Ergebnis des Münzwurfs Heads war?

Wenn Sie es als "Was sind die Chancen, dass eine geworfene Münze Heads ist" interpretieren, ist die Antwort offensichtlich "die Hälfte der Chancen".

Aber was Sie fragen, ist nicht (in meiner Interpretation) das, sondern "was ist die Chance, dass das gegenwärtige Erwachen durch einen Kopf verursacht wurde?". In diesem Fall wird offensichtlich nur ein Drittel des Erwachens von einem Kopf verursacht, daher lautet die wahrscheinlichste Antwort "Schwänze".

Das ist eine sehr interessante Frage. Ich werde meine Antwort geben, als wäre ich Dornröschen. Ich bin der Meinung, dass es wichtig ist, zu verstehen, dass wir dem Experimentator zu 100% vertrauen.

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

Dann folgt (3) auf die gleiche Weise, mit der Ausnahme, dass, sobald Ihnen mitgeteilt wird, dass dies das letzte Mal ist, dass Sie geweckt werden, die Anzahl der Situationen, in denen Sie sich befinden können, auf 2 sinkt (wie jetzt, und dies war das erste Mal, dass Sie es waren) erwacht ist unmöglich).

$m$$n$$m≤n$

Insbesondere wenn die Münze "Köpfe" ist, wird sie am ...

$\cdots$
$\cdots$
$m$

... und wenn die Münze "Tails" ist, wird sie am ...

$\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

$m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$$n$$m$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$D_1$
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

$n$$m$

$D_1$
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

$m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

Wir haben bereits die Antwort, aber lassen Sie uns auch die Wahrscheinlichkeit von "Köpfen" oder "Schwänzen" berechnen, wenn das Erwachen an einem bestimmten Tag stattfindet

$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

Mir ist bewusst, dass dies keine Antwort für diejenigen ist, die an die "1/3" Antwort glauben. Dies ist nur eine einfache Verwendung von bedingten Wahrscheinlichkeiten. Daher halte ich dieses Problem nicht für mehrdeutig und daher für ein Paradoxon. Es ist für den Leser jedoch verwirrend, unklar zu machen, welche zufälligen Experimente und welche möglichen Ereignisse bei diesen Experimenten auftreten.

Da sich Dornröschen nicht erinnern kann, wie oft sie schon aufgewacht ist, wird nicht die Wahrscheinlichkeit von Köpfen untersucht, dass sie nur einmal aufgewacht ist, sondern die Wahrscheinlichkeit von Köpfen, dass sie mindestens einmal aufgewacht ist :

$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

Die Antwort lautet also 50% (die Halber haben Recht), und es gibt kein Paradoxon.

Die Leute scheinen das viel, viel komplexer zu machen, als es wirklich ist!

Nicht statistisch

Dornröschen kann in all ihrer angeborenen Genialität das hypothetische Experiment im Schlaf durchführen, das ihre Überzeugungen prägen wird:

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

Ausgabe:

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

Also wird unsere Dornröschen glauben, besser Schwänze zu erraten.

Und statistisch?

Der obige Algorithmus soll nicht a statistically rigorous waybestimmen, was zu erraten ist. Es macht jedoch unheimlich deutlich, dass sie bei Schwänzen zweimal raten muss , sodass das Erraten von Schwänzen mit doppelter Wahrscheinlichkeit die richtige Vermutung ist. Dies ergibt sich aus dem Ablauf des Experiments.

Frequentistische Wahrscheinlichkeit

Frequentistische Wahrscheinlichkeit ist ein Konzept der Statistik, das auf den Theorien von Fisher, Neyman und (Egon) Pearson basiert.

$n$$E_{n}$

$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

Und sie glaubt?

Als sie in ihren Überlegungen endlich hier ankommt, hat sie statistisch strenge Gründe, auf die sie ihren Glauben stützen kann. Aber wie sie sie letztendlich formen wird, hängt wirklich von ihrer Psyche ab.

Ich habe mir gerade einen neuen Weg überlegt, um meinen Standpunkt zu erklären, und was mit der 1/2-Antwort nicht stimmt. Führen Sie zwei Versionen des Experiments gleichzeitig mit demselben Münzwurf aus. Eine Version ist genau wie das Original. In der anderen werden drei (oder vier - es spielt keine Rolle) Freiwillige benötigt; Jedem wird eine andere Kombination von Kopf oder Zahl und Montag oder Dienstag zugewiesen (die Kombination Kopf + Dienstag entfällt, wenn Sie nur drei Freiwillige einsetzen). Beschriften Sie sie mit HM, HT, TM und TT (möglicherweise ohne HT).

Wenn eine Freiwillige in der zweiten Version auf diese Weise geweckt wird, weiß sie, dass sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit als HM, TM oder TT eingestuft wurde. Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit, dass sie als HM eingestuft wurde, beträgt 1/3, vorausgesetzt, sie ist wach. Da der Münzwurf und der Tag dieser Zuordnung entsprechen, kann sie trivial auf P (Heads | Awake) = 1/3 schließen.

Der Freiwillige in der ersten Version konnte mehr als einmal geweckt werden. Aber da "heute" nur einer dieser beiden möglichen Tage ist, hat sie, wenn sie wach ist, genau die gleichen Informationen wie die wache Freiwillige in der zweiten Version. Sie weiß, dass ihre gegenwärtigen Umstände mit dem Etikett einer UND NUR EINER anderen Freiwilligen übereinstimmen können . Das heißt, sie kann sich selbst sagen, dass entweder der Freiwillige mit der Bezeichnung HM oder HT oder TT ebenfalls wach ist. Da jede davon gleich wahrscheinlich ist, gibt es eine 1/3-Chance, dass es HM ist, und somit eine 1/3-Chance, dass die Münze gelandet ist Schwänze. "

Der Grund, warum Leute einen Fehler machen, ist, dass sie "ist irgendwann während des Experiments wach" mit "ist jetzt wach" verwechseln. Die 1/2 Antwort kommt aus dem ursprünglichen SB sagen zu mir selbst „entweder HM die einzig anderen wach Freiwillige sind JETZT , oder TM und TT sind BEIDE wach EINMAL während des Experimentes . Da jede Situation gleich wahrscheinlich ist, gibt es eine 1/2 Chance es ist HM und somit eine halbe Chance, dass die Münze Schwänze landet. " Es ist ein Fehler, weil nur ein anderer Freiwilliger jetzt wach ist.

Anstatt eine statistisch strenge Antwort zu geben, möchte ich die Frage leicht modifizieren, um Menschen zu überzeugen, deren Intuition sie zu Halbwüchsigen macht.

Einige Forscher wollen dich einschläfern lassen. Je nach dem geheimen Wurf einer schönen Münze werden Sie entweder einmal (Köpfe) oder neunhundertneunundneunzigmal (Schwänze) geweckt. Nach jedem Aufwachen werden Sie wieder mit einer Droge eingeschlafen, die Sie das Aufwachen vergessen lässt.

Inwieweit sollten Sie glauben, dass das Ergebnis des Münzwurfs Heads war, wenn Sie aufgewacht sind?

Nach der gleichen Logik wie zuvor könnte es zwei Lager geben -

• Halfers - der Münzwurf war fair, und SB weiß das, also sollte sie glauben, dass es eine halbe Chance für Köpfe gibt.
• Tausend - wenn das Experiment viele Male wiederholt würde, wäre der Münzwurf nur einer von tausend Köpfen, also sollte sie glauben, dass die Chance auf einen von tausend Köpfen eins ist.

Ich glaube, dass ein Teil der Verwirrung aus der Frage, wie sie ursprünglich formuliert wurde, einfach deshalb entsteht, weil es keinen großen Unterschied zwischen einem halben und einem dritten gibt. Die Menschen betrachten Wahrscheinlichkeiten natürlich als etwas unscharfe Konzepte (insbesondere wenn es sich bei der Wahrscheinlichkeit eher um einen Grad des Glaubens als um eine Frequenz handelt), und es ist schwierig, den Unterschied zwischen einem Grad des Glaubens von einem halben und einem Drittel zu verstehen.

Der Unterschied zwischen einem halben und einem von tausend ist jedoch viel viszeraler. Ich behaupte, dass es für mehr Menschen intuitiv offensichtlich sein wird, dass die Antwort auf dieses Problem eins zu tausend ist und nicht eine Hälfte. Ich wäre interessiert zu sehen, wie ein "Halfer" sein Argument mit dieser Version des Problems verteidigt.

Wenn Dornröschen entweder Kopf oder Zahl sagen müsste, würde sie ihre erwartete 0: 1-Verlustfunktion (die jeden Tag ausgewertet wird) minimieren, indem sie die Zahl auswählt. Wenn jedoch die 0-1-Verlustfunktion nur bei jedem Versuch bewertet würde, wären entweder Kopf oder Zahl gleich gut.

Die Dritten gewinnen

Anstelle einer Münze nehmen wir einen fairen Würfel an:

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

Jedes Mal, wenn sie sie fragen, bis zu welchem ​​Grad sollten Sie glauben, dass das Ergebnis des Würfels 1 war?

Die Halfers sagen, dass die Wahrscheinlichkeit von Würfeln = 1 1/6 ist. Die Thirders sagen, dass die Wahrscheinlichkeit von Würfeln = 1 1/21 ist

Die Simulation löst das Problem jedoch eindeutig:

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

Wir können auch das Wurfproblem simulieren

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

Das scheinbare Paradox ergibt sich aus der falschen Annahme, dass Wahrscheinlichkeiten absolut sind. Wahrscheinlichkeiten sind in der Tat relativ zur Definition der Ereignisse, die gezählt werden.

$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

Beide P (Köpfe) = 1/2 für Welten (oder Geburten) und P (Köpfe) = 1/3 für Augenblicke (oder Erwachen) sind wahr, aber nach dem Einschlafen kann Dornröschen nur Wahrscheinlichkeiten in Bezug auf Augenblicke berechnen weil sie weiß, dass ihr Gedächtnis gelöscht wird. (Vor dem Schlafengehen würde sie es in Bezug auf Welten berechnen.)

Ich denke, der Fehler ist von den "Dritten" und mein Grund dafür ist, dass die "Erwachen" nicht gleich wahrscheinlich sind - wenn Sie aufgewacht sind, ist es wahrscheinlicher, dass Sie "das erste Mal" geweckt wurden - eine 75 % Chance in der Tat.

Dies bedeutet, dass Sie die "3 Ergebnisse" (Heads1, Tails1, Tails2) nicht gleichermaßen zählen können.

$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

Die Mathematik wird in der Antwort von @ pit847 deutlich gezeigt, so dass ich sie in meiner nicht wiederholen werde.

$1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

Wenn Dornröschen erwacht, weiß sie:

$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

$\mathcal{I}$

$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

$w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

Dornröschen hat keine weiteren Angaben. Nach dem Grundsatz der unzureichenden Begründung ist sie verpflichtet, eine Wahrscheinlichkeit von zuzuweisen$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

PS

$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

Aus meiner Sicht sind jedoch Aussagen dieser Art technisch unzulässig, weil eine Wahrscheinlichkeit ist etwas , das muss ausgearbeitet von der Vorder- und Nachsatz Sätzen. Der Satz "Der geheime Wurf einer schönen Münze" wirft die Frage auf: Woher weiß Dornröschen, dass es fair ist? Welche Informationen hat sie, die das belegen? Normalerweise ergibt sich die Fairness einer idealen Münze aus der Tatsache, dass es zwei informativ äquivalente Möglichkeiten gibt. Wenn der Münzwurf mit dem Weckfaktor verwechselt wird, erhalten wir drei informativ äquivalente Möglichkeiten. Es ist im Wesentlichen eine dreiseitige ideale Münze, also kommen wir zu der obigen Lösung.

Spät zur Party, ich weiß.

Diese Frage ist dem Monty Hall-Problem sehr ähnlich, bei dem Sie gefragt werden, hinter welchen von drei Türen sich der Preis befindet. Angenommen, Sie wählen Tür Nr. 1. Dann entfernt der Moderator (der weiß, wo sich der Preis befindet) Tür 3 aus dem Spiel und fragt, ob Sie Ihre Vermutung von Tür 1 auf Tür 2 ändern oder bei Ihrer ursprünglichen Vermutung bleiben möchten. Die Geschichte besagt, dass Sie immer wechseln sollten, da die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis in Tür 2 steht, höher ist. Die Leute sind an diesem Punkt normalerweise verwirrt und weisen darauf hin, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Preis in einer der beiden Türen befindet, immer noch 1/3 beträgt. Darum geht es aber nicht. Die Frage ist nicht, wie hoch die anfängliche Wahrscheinlichkeit warDie eigentliche Frage ist, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass Ihre erste Vermutung richtig war, und wie hoch die Wahrscheinlichkeit, dass Sie etwas falsch verstanden haben. In diesem Fall sollten Sie wechseln, da die Wahrscheinlichkeit, dass Sie einen Fehler gemacht haben, 2/3 beträgt.

Wie beim Monty Hall-Problem wird es unglaublich klar, wenn wir aus 3 Türen eine Million Türen machen. Wenn es eine Million Türen gibt und Sie Tür 1 wählen und der Moderator die Türen von 3 auf eine Million schließt und nur die Türen 1 und 2 im Spiel lässt, würden Sie wechseln? Natürlich würdest du! Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie Tür 1 richtig ausgewählt haben, lag bei 1 zu 1 Million. Wahrscheinlich hast du es nicht getan.

Mit anderen Worten, der Denkfehler beruht auf der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Aktion auszuführen, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Aktion ausgeführt wurde, wenn der Kontext zwischen den beiden Aussagen nicht äquivalent ist. Je nach Kontext und Umständen des Problems kann die Wahrscheinlichkeit einer „richtigen Auswahl“ von der Wahrscheinlichkeit einer „richtigen Auswahl“ abweichen.

Ähnliches gilt für das Dornröschenproblem. Wenn Sie bei Schwänzen nicht 2 Mal, sondern 1 Million Mal aufgewacht sind, ist es sinnvoller zu sagen: "Dieses aktuelle Erwachen, das ich gerade erlebe, ist mit größerer Wahrscheinlichkeit eines von jenen, die sich in der Mitte einer Phase befinden eine Serie von Millionen Erwachen aus einem Schwanzwurf, als ich gerade auf dieses einzelne Erwachen gestoßen bin, das aus Köpfen resultiert hat ". Das Argument, es sei eine faire Münze, hat hier nichts zu tun. Die faire Münze sagt Ihnen nur, wie hoch die Chancen sind, Köpfe zu werfen, dh wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, einmal geweckt zu werden, verglichen mit einer Million Mal, wenn Sie diese Münze zum ersten Mal werfen. Wenn Sie SB also vor dem Experiment bitten, vor jedem Wurf zu entscheiden, ob sie einmal oder millionenfach schläft, beträgt ihre Wahrscheinlichkeit, richtig zu wählen, tatsächlich 50%.

Aber von diesem Zeitpunkt an ist die Wahrscheinlichkeit, Heads geworfen zu haben, weitaus geringer, wenn man von aufeinanderfolgenden Experimenten ausgeht und SB nicht sagt, in welchem ​​Experiment sie sich gerade befindet, da dies mit größerer Wahrscheinlichkeit der Fall ist aufgewacht aus einem der Millionen Erwachen als aus einem einzigen.

Beachten Sie, dass dies konsekutive Experimente gemäß der Formulierung des Problems impliziert. Wenn SB von Beginn des Experiments an versichert ist, dass es nur ein einziges Experiment geben wird (dh nur ein einziges Experiment), geht ihre Überzeugung auf 50% zurück, da sie zu jedem Zeitpunkt die Tatsache hat, dass sie aufgewacht ist viele Male zuvor wird jetzt irrelevant. Mit anderen Worten, in diesem Zusammenhang wird die Wahrscheinlichkeit, richtig gewählt und richtig gewählt zu haben, wieder gleich.

Beachten Sie auch, dass alle Umformulierungen mit "Wetten" auch andere Fragen sind, die den Kontext völlig verändern. Wenn Sie beispielsweise in einem einzigen Experiment jedes Mal, wenn Sie richtig geraten haben, Geld verdienen würden, würden Sie offensichtlich Schwänze suchen. Dies liegt jedoch daran, dass die erwartete Belohnung höher ist und nicht daran, dass sich die Wahrscheinlichkeit von Schwänzen von der Wahrscheinlichkeit von Kopfunterschieden unterscheidet. Daher sind alle "Lösungen", die Wetten einführen, nur insoweit gültig, als sie das Problem auf eine ganz bestimmte Interpretation reduzieren.

Bevor SB schlafen geht, glaubt sie, dass die Chance des nächsten Münzwurfs 1/2 beträgt. Nachdem sie aufwacht, glaubt sie, dass die Chance, dass der letzte Münzwurf Köpfe war, 1/3 beträgt. Diese Ereignisse sind nicht dasselbe, weil es keine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Erwachen und Münzwurf gibt.

Wie wäre es mit der folgenden Lösung:

Die Frage ist, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Münze "Kopf" schlägt. Wenn die Dornröschen am Montag geweckt würden und wüssten, welcher Tag es ist, müsste sie in der Tat glauben, dass die Wahrscheinlichkeit von "Köpfen" 50% beträgt.

Wäre sie jedoch am Dienstag aufgeweckt worden und hätte gewusst, an welchem ​​Tag die Münze auftaucht, wäre die Wahrscheinlichkeit gleich Null gewesen.

Das Wissen, an welchem ​​Tag es sich handelt, fügt also entscheidende Informationen hinzu, die die Wahrscheinlichkeit von "Köpfen" verändern.

Die Dornröschen wissen jedoch nicht, an welchem ​​Tag sie aufwacht. Wir müssen daher die Wahrscheinlichkeiten des Aufwachens entweder am Montag oder am Dienstag bestimmen.

Betrachten wir zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass es Dienstag ist. Wenn der Experimentator die Münze umwirft, entscheidet das Ergebnis, welchem ​​Szenario des Experiments er folgen würde. Wenn es Köpfe sind, wird der SB erst am Montag geweckt. Wenn es Schwänze sind, wird sie am Montag und Dienstag geweckt. Die Wahrscheinlichkeiten des Experiments auf einem dieser Wege sind offensichtlich 50/50. Wenn wir uns im Zweig "Zwei-Erwachen" befinden, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der SB an einem Dienstag oder Montag aufwacht, beide 50%. Wir können also die Gesamtwahrscheinlichkeit für Dienstag, wenn der SB aufwacht, mit 0,5 * 0,5 = 0,25 berechnen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es Montag ist, wenn sie aufwacht, offensichtlich 1-0,25 = 0,75

Wenn die SB gewusst hätte, dass sie am Dienstag aufgewacht ist, wäre die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze "Kopf" hat, Null gewesen.

Wenn sie jedoch gewusst hätte, dass sie am Montag aufgewacht ist, hätte die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze "Kopf" hat, 50% betragen. Aber wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es Montag ist, 0,75 beträgt. Um die Gesamtwahrscheinlichkeit herauszufinden, dass die Münze "Kopf" hat, müssen wir 0,75 * 0,5 = 0,375 multiplizieren

Die Antwort ist also, die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze "Köpfe" kam, ist 37,5%

Das obige ist nur ein Vorschlag. Bitte weisen Sie darauf hin, wenn Sie Fehler in meiner Argumentation sehen.