Raumpunktprozess: Beeinflusst eine inhomogene Intensitätsfunktion erster Ordnung die Abhängigkeit zweiter Ordnung?

Wie der Titel schon sagt, bin ich etwas verwirrt über den Effekt der Intensitätsfunktion erster Ordnung. Wenn ich eine Intensitätsfunktion erster Ordnung habe, die besagt, dass in einer bestimmten Region die Punkte viel wahrscheinlicher auftreten, bedeutet dies, dass in dieser Region viel mehr Punkte auftreten und es scheint, dass sich die Punkte in dieser Region und anschließend gruppieren legt nahe, dass in dieser Region die Punktmuster gruppiert sind. Es scheint also, dass die Inhomogenität der Intensität erster Ordnung die Intensität zweiter Ordnung beeinflusst.

Mein Verständnis ist, dass die Intensitätsfunktion erster Ordnung das allgemeine Intensitätsniveau angibt, bei dem die Punkte auftreten. Basierend auf dieser Intensität wird dann durch die Intensitätsfunktion zweiter Ordnung bestimmt, ob Punkte in einer bestimmten Region im Vergleich zu einem Poisson-Prozess gleicher Intensität gruppiert oder abstoßend sind.

Wenn mein Verständnis richtig ist, kann jedes Punktmuster als inhomogener Poisson-Prozess angesehen werden, wenn wir die Intensität erster Ordnung so detailliert wie möglich beschreiben. Aber das wird natürlich ein Fall von Überanpassung sein.

Ist dieses Verständnis richtig?

Intensität erster Ordnung und Intensität zweiter Ordnung messen verschiedene Aspekte eines Prozesses, die nahezu unabhängig voneinander variiert werden können. Insbesondere kann nicht jeder Punktprozess als inhomogener Poisson-Prozess angesehen werden.

Lassen Sie uns zuerst die letzte Ausgabe behandeln. Betrachten Sie einen homogenen Poisson-Prozess für das Intervall$[0,1].$ Die Lücken tendieren dazu, einer Exponentialverteilung zu folgen. Vergleichen wir es mit einem Prozess, der dazu neigt, einen gleichmäßigeren Abstand beizubehalten, einem "geschichteten zufälligen" Prozess. Es wird erstellt, indem das Intervall in tausend nicht überlappende Bins unterteilt und ein einheitlich zufälliger Punkt in jedem Bin ausgewählt wird. Sie haben die gleichen Intensitäten erster Ordnung, wie aus diesen Schätzungen bei einer einzelnen Realisierung jedes Prozesses hervorgeht:

Diese Prozesse lassen sich leicht unterscheiden, indem die Intervalle zwischen aufeinanderfolgenden Werten untersucht werden:

Es ist in der Tat so, dass bestimmte Formen der "Clusterbildung" durch die Intensität zweiter Ordnung charakterisiert werden können - aber nicht alle. Clustering kann eine beliebige Kombination von zwei Dingen bedeuten:

1. Clustering "erster Ordnung" in der Nähe eines Standorts $s$ bedeutet nur, dass es tendenziell mehr Punkte in einer Nachbarschaft von gibt $s$ über alle Realisierungen hinweg.

2. Clustering "zweiter Ordnung" in der Nähe eines Standorts $s$ bedeutet das Erscheinen eines Punktes in der Nähe von $s$ ist mit dem Auftreten von Punkten an anderen Orten in der Nähe verbunden $s.$

Das klingt subtil, also lassen Sie uns einige Beispiele gegenüberstellen. Ich habe Realisierungen von zwei Prozessen generiert: einen, der einfach inhomogen ist und eine fünfmal höhere Intensität im Intervall aufweist$(0,1/2]$ als auf dem Intervall $(1/2,1]$;; und eine andere, die ähnlich inhomogen ist, sich aber im Intervall gruppiert$(0,1/2]$. Um letzteres zu erzeugen, habe ich eine Folge von iid-Exponentialvariablen erstellt$dX_i$, multipliziert jeden fünften von ihnen mit $100,$ und berechnete ihre kumulative Summe $X_i,$ schließlich durch das Doppelte ihrer Summe teilen, um sie innerhalb des Bereichs zu platzieren $(0,1/2].$ Der Prozess im Intervall $(1/2,1]$ist nach wie vor ein homogener Poisson-Prozess. Dies führte zu einem Prozess, bei dem es tendenziell enge Gruppen von vier Punkten gibt, die alle weit voneinander entfernt sind. Da die dazwischen liegenden Lücken zwischen diesen Punkten zufällig sind, sind die Orte, an denen diese Cluster auftreten, von einer Realisierung zur anderen nicht gleich. Wenn Sie die Möglichkeit haben, mehrere Realisierungen eines Prozesses anzuzeigen, ist dies eine Möglichkeit, Inhomogenität (die von einer Realisierung zur nächsten fortbesteht) von Clustering (das überall auftreten kann, nicht unbedingt an festen Orten) zu unterscheiden.

Die Realisierung jedes Prozesses erscheint unten als Teppichplot. Die Punkte sind ein Streudiagramm der$(X_i, dX_i)$Paare: Das heißt, die Höhen zeichnen die Lücken zum nächsten Punkt rechts. Die Streudiagramme unterscheiden die beiden Prozesse klar.

Im Großen und Ganzen klingt Ihr Verständnis richtig. Insbesondere haben Sie Recht, dass es grundsätzlich unmöglich ist, "Inhomogenität erster Ordnung" und "Clusterbildung zweiter Ordnung aufgrund von Wechselwirkungen zwischen Punkten" anhand eines einzelnen Punktmusters zu unterscheiden.