Berechnung des erwarteten Wertes der abgeschnittenen Normalen

Unter Verwendung der Mühlen - Verhältnis Ergebnis lassen , dann$X \sim N(\mu, \sigma^2)$

$E(X| X<\alpha) = \mu - \sigma\frac{\phi(\frac{a- \mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})}$

Bei der Berechnung in R. erhalte ich jedoch nicht die richtigen Ergebnisse als

> mu <- 1
> sigma <- 2 
> a <- 3 
> x <- rnorm(1000000, mu, sigma) 
> x <- x[x < a] 
> mean(x)
[1] 0.4254786
> 
> mu -  sigma * dnorm(a, mu, sigma) / pnorm(a, mu, sigma)
[1] 0.7124

Was mache ich falsch?

Ihre Formelimplementierung ist falsch, weil Wie Sie sehen können, haben wir ein zusätzliches im Nenner von , was ergibt: Methode gibt Ihnen , wobei Sie sie mit multiplizieren müssen , um zu erhalten . Da Ihr , kann dies praktisch durch erneutes Subtrahieren des zweiten Terms erfolgen

$$\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\neq f_{X,\mu,\sigma}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$ $\sigma$$f_{X,\mu,\sigma}(x)$ $$\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\sigma f_{X,\mu,\sigma}(x)$$ dnorm$f_{X,\mu,\sigma}(x)$$\sigma$$\phi$$\sigma=2$$1-0.7124=0.2876$ : was nahe an Ihrer Schätzung liegt. $$1-0.2876-0.2876=0.4247$$