Konvergenz der Matérn-Kovarianzfunktion zum quadratischen Exponential

Die Matérn-Kovarianzfunktion konvergiert zur quadratischen exponentiellen Kovarianzfunktion.

Viele Quellen, darunter das GPML-Buch und Wikipedia , geben dieses Ergebnis an. Keiner von ihnen liefert Details.

Ich suche Referenzen, die Details und einen Beweis liefern. Insbesondere wundere ich mich über die Art der Konvergenz.

— Paris
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Die Matérn-Funktion kann in Bezug auf geschrieben werden

\begin{matrix} (*) & f_{ν} (x) = {C.}_{ν} | x |^{ν} {K.}_{ν} (| x |) \end{matrix}

$f_{\nu}(x) = C_\nu |x|^{\nu} K_{\nu}\left(|x|\right)\tag{*}$

wo $C_\nu$ ist eine Normalisierungskonstante (um den Wert von zu machen $f_\nu(0)$ gleicht $1$ ) und $x = \sqrt{2\nu}\, d/\rho.$

(Dies stimmt mit der Wikipedia-Notation überein, wo $x$ repräsentiert $\sqrt{2\nu} d/\rho.$ )

Wie bei der Moment erzeugenden Funktion des inneren Produkts zweier Gaußscher Zufallsvektoren (unter Verwendung elementarer Techniken) gezeigt,

Die Matern-Funktion ist proportional zur Dichtefunktion für die Verteilung des Punktprodukts zweier Zufallsvektoren, wobei jeder hat $2\nu+1$ Komponenten und alle Komponenten werden unabhängig voneinander als Standard-Normalvariablen verteilt.

Ein solches inneres Produkt ist die Summe der $2\nu+1$ unabhängige und identisch verteilte Produkte entsprechender Komponenten der Vektoren. Jede davon ist das Produkt zweier unabhängiger Standard-Normalvariablen $X$ und $Y$ und hat deshalb gemein $0$ und Varianz

Var (X. Y.) = E. [(X. Y.)^{2}]] = E. [{X.}^{2}]] E. [{Y.}^{2}]] = (1) (1) = 1.

$\operatorname{Var}(XY) = E[(XY)^2] = E[X^2]E[Y^2] = (1)(1) = 1.$

Folglich hat das innere Produkt Mittelwert $(2\nu+1)(0) = 0$ und Varianz $(2\nu+1)(1)=2\nu+1.$

Der zentrale Grenzwertsatz besagt , dass sich die normalisierten Versionen dieser inneren Produkte daher fast sicher einer Standardnormalverteilung nähern. Der Effekt der Normalisierung ist zu ersetzen $x$ durch die Quadratwurzel seiner Varianz, $x\sqrt{2\nu+1},$ was das Wahrscheinlichkeitselement ändert $f_{\nu}(x)\mathrm{d}x$ durch

f_{ν} (x \sqrt{2 ν + 1}) d (x \sqrt{2 ν + 1}) = \sqrt{2 ν + 1} f_{ν} (x \sqrt{2 ν + 1}) d x .

$f_{\nu}(x\sqrt{2\nu+1})\mathrm{d}(x\sqrt{2\nu+1}) = \sqrt{2\nu+1} f_{\nu}(x\sqrt{2\nu+1})\mathrm{d}x.$

Dies unterscheidet sich von $(*)$ (wohin wir nehmen dürfen $\rho=1$ ohne Verlust der Allgemeinheit, da lediglich die Abstandsmaßeinheit festgelegt wird) nur insoweit $x$ wird multipliziert mit $\sqrt{2\nu+1}$ anstatt $\sqrt{2\nu}.$ Da sich das Verhältnis dieser Terme der Einheit nähert, spielt es im Grenzfall keine Rolle, welcher verwendet wird. Folglich ist die Konvergenz fast sicher.

Eine winzige Schönheit ist das, weil $f_\nu$ ist normalisiert, um eine Spitzenhöhe von zu haben $1,$ welches ist $\sqrt{2\pi}$ mal die Peakhöhe der Standardnormaldichte ist die Konvergenz zu $\sqrt{2\pi}$ mal die normale Standarddichte und nicht die Dichte selbst. Wiedereinführung des Skalierungsfaktors $\rho$ haben wir - mit rein statistischem Denken! - daraus geschlossen

$lim_{ν \to \infty} f_{ν} (d) = \exp (- - \frac{d^{2}}{2 ρ^{2}})$ $\lim_{\nu\to\infty} f_\nu(d) = \exp\left(-\frac{d^2}{2\rho^2}\right)$ fast sicher.

Dies stimmt mit dem überein, was Wikipedia behauptet .

Dieses Diagramm zeigt Diagramme von $f_2$ (Blau), $f_5$ (rot) und das begrenzende Gaußsche (Gold). Die Konvergenz erfolgt durch Einziehen des Schwanzes, um den Peak auszufüllen.

— whuber
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+1 für die Details, ich habe hier etwas gelernt. Kennen Sie zufällig auch eine zitierfähige Referenz?

— Paris

Einige geostatistische Texte beschreiben die Familie Matérn, aber mir sind keine bekannt, die den hier verwendeten Ansatz verwenden, um die Konvergenz zur Gaußschen (quadratischen Exponentialform) zu demonstrieren.

— whuber