Gemischte Modelle: Wie lassen sich Hendersons Gleichungen mit gemischten Modellen ableiten?

Im Kontext der besten linearen unverzerrten Prädiktoren (BLUP) spezifizierte Henderson die Gleichungen mit gemischten Modellen (siehe Henderson (1950): Estimation of Genetic Parameters. Annals of Mathematical Statistics, 21, 309-310). Nehmen wir das folgende Modell mit gemischten Effekten an:

$y = X\beta+Zu+e$

wobei ein Vektor von n beobachtbaren Zufallsvariablen ist, ein Vektor von festen Effekten ist, und bekannte Matrizen sind und und Vektoren von und zufälligen Effekten sind, so dass und und$y$$\beta$$p$$X$$Z$$u$$e$$q$$n$$E(u) = 0$$E(e) = 0$

$Var \begin{bmatrix} u \\ e \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} G & 0 \\ 0 & R \\ \end{bmatrix}\sigma^2$

wobei und bekannte bestimmte Matrizen sind und eine positive Konstante ist.$G$$R$$\sigma^2$

Nach Henderson (1950) sind die BLUP-Schätzungen von von und von als Lösungen für das folgende Gleichungssystem definiert:$\hat {\beta}$$\beta$$\hat {u}$$u$

$X'R^{-1}X\hat {\beta}+X'R^{-1}Z\hat {u} = X'R^{-1}y$

$Z'R^{-1}X\hat {\beta}+(Z'R^{-1}Z + G^{-1})\hat {u} = Z'R^{-1}y$

(Siehe auch: Robinson (1991): Diese BLUP ist eine gute Sache: die Abschätzung zufälliger Effekte (mit Diskussion). Statistical Science, 6: 15–51).

Ich habe keine Ableitung dieser Lösung gefunden, gehe aber davon aus, dass er sich ihr wie folgt näherte:

$(y - X\beta - Zu)'V^{-1}(y - X\beta - Zu)$

wobei . Daher sollten die Lösungen daher sein$V = R + ZGZ'$

$X'V^{-1}X\hat {\beta} + X'V^{-1}Z\hat {u} = X'V^{-1}y$

$Z'V^{-1}X\hat {\beta} + Z'V^{-1}Z\hat {u} = Z'V^{-1}y$ .

Wir wissen auch, dass .$V^{-1} = R^{-1} - R^{-1}Z(G^{-1}+Z'R^{-1}Z)Z'R^{-1}$

Wie kann man jedoch fortfahren, um zu den gemischten Modellgleichungen zu gelangen?

Ein Ansatz besteht darin, die Log-Wahrscheinlichkeit zu bilden und diese in Bezug auf die zufälligen Effekte differenzieren und diese auf Null zu setzen, dann zu wiederholen, aber in Bezug auf die festen Effekte differenzieren .$\mathbf{u}$$\boldsymbol{\beta}$

Mit den üblichen Normalitätsannahmen haben wir:

$$\begin{align*} \mathbf{y|u} &\sim \mathcal{N}\mathbf{(X\beta + Zu, R)} \\ \mathbf{u} &\sim \mathcal{N}(\mathbf{0, G}) \end{align*}$$ wobei der Antwortvektor ist, und die Vektoren für zufällige Effekte und Koeffizienten mit festen Effekten und sind Modellmatrizen für die festen Effekte bzw. zufälligen Effekte. Die Log-Wahrscheinlichkeit ist dann:$\mathbf{y}$$\mathbf{u}$$\boldsymbol{\beta}$$\mathbf{X}$$\mathbf{Z}$

$$-2\log L(\boldsymbol{\beta,\theta,}\mathbf{u}) = \log|\mathbf{R}|+(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu})'\mathbf{R}^{-1}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) +\log|\mathbf{G}|+\mathbf{u'G^{-1}u}$$ Unterscheiden nach zufälligen und festen Effekten: Nachdem beide gleich Null gesetzt wurden, mit einigen geringfügigen Änderungen Beim Anordnen erhalten wir Hendersons gemischte Modellgleichungen: $$\begin{align*} \frac{\partial \log L}{\partial \mathbf{u}} &= \mathbf{Z'R^{-1}}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) - \mathbf{G^{-1}u} \\ \frac{\partial \log L}{\partial \boldsymbol{\beta}} &= \mathbf{X'R^{-1}}(\mathbf{y - X\boldsymbol{\beta} - Zu}) \end{align*}$$

$$\begin{align*} \mathbf{Z'R^{-1}}\mathbf{y} &= \mathbf{Z'R^{-1}X\boldsymbol{\beta}} + \mathbf{u(Z'R^{-1}Z+G^{-1})} \\ \mathbf{X'R^{-1}}\mathbf{y} &= \mathbf{X'R^{-1}X\boldsymbol{\beta}} + \mathbf{uX'R^{-1}Z} \end{align*}$$