Standardnormalverteilung in einem Unterraum

Sei ein Vektorraum mit . Eine Standardnormalverteilung auf ist das Gesetz eines Zufallsvektors , der Werte in annimmt und so, dass die Koordinaten von in einer ( in irgendeiner) orthonormalen Basis von ein Zufallsvektor sind hergestellt aus unabhängigen Standardnormalverteilungen . $U \subset \mathbb{R}^n$ $\dim(U)=d$ $U$ $X=(X_1, \ldots, X_n)$ $U$ $X$ $\iff$ $U$ $d$ ${\cal N}(0, 1)$

Beim Lesen dieser Frage habe ich mir folgende Frage gestellt. Sei eine Standardnormalverteilung auf . Stimmt es, dass die bedingte Verteilung von bei die Standardnormalverteilung für ? $Y=(Y_1, \ldots, Y_n)$ $\mathbb{R}^n$ $Y$ $Y \in U$ $U$

Die quadratische Norm von hat eine Chi-Quadrat-Verteilung . Wenn dies wahr ist, würde dies die Behauptung von @ Argha erklären. ${\Vert X \Vert}^2$ $X$ $\chi^2_d$

Entschuldigung, wenn LaTeX falsch geschrieben ist, wird das LaTeX-Rendering nicht angezeigt :(

EDIT 01/10/2012: Ok, ich verstehe . Schreiben Sie $y=u+v$ die orthogonale Zerlegung von $y$ in $U\oplus U^\perp$ . Dann ist

Pr (Y \in d y \cap Y \in U) = Pr (P_{U} Y \in d u)

$\Pr(Y\in \mathrm{d}y \cap Y \in U)=\Pr(P_U Y \in \mathrm{d}u)$ . Das zeigt, dass

(Y ∣ Y \in U) \sim P_{U} Y

$(Y \mid Y \in U) \sim P_U Y$ . Das ist ein bisschen heuristisch, aber moralisch korrekt. Schließlich geht aus der Definition hervor, dass

P_{U} Y

$P_U Y$ auf

Standardnormal ist

U

$U$ .

normal-distribution conditioning

— Stéphane Laurent
quelle

Ist das nicht schrecklich offensichtlich, wenn Sie feststellen, dass eine orthonormale Basis für immer durch Erweitern einer beliebigen orthonormalen Basis für konstruiert werden kann ? (Ein Beweis: Verwenden Sie Gram-Schmidt für jede Erweiterung, ob orthonormal oder nicht.) Auf dieser Basis ist das PDF trennbar und ein Fortiori ist Standard normal für , QED.

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

U

$U$

U

$U$

— whuber

@whuber Könnten Sie bitte eine Antwort ausarbeiten? Wie leiten Sie die bedingte Verteilung ab?

— Stéphane Laurent

Du siehst es dir nur an! Wenn ein absolut kontinuierliches PDF als , dann sind (a) und unabhängig und (b) und sind die bedingten Verteilungen .

f (x, y)

$f(x,y)$

f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_x(x)f_y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

f_{x}

$f_x$

f_{y}

$f_y$

— whuber

@whuber Ich komme gerade von der Arbeit zurück. Ich werde später darüber nachdenken. Vielen Dank. Natürlich glaube ich, dass dies offensichtlich ist, aber ich bin müde.

— Stéphane Laurent

Ja. Sie haben, dass ein Unterraum von . Sei und die orthogonale Projektionsmatrix auf , so dass symmetrisch und idempotent ist. Dann ist . Dies ist eine singuläre Normalverteilung, die im Unterraum die Standardnormalen in diesem Unterraum ist. Als singuläre Verteilung hat, ist es nicht eine Dichte in Bezug auf Volumen Maßnahme hat , aber es funktioniert auf das (niedrigeren-dim) Volumen - Maß auf eine Dichte in Bezug hat . $U$ $\mathbb R^n$ $Y \sim \text{N}(0,I)$ $P$ $U$ $P$ $PY \sim \text{N}(P0,PIP^T) = \text{N}(0,P)$ $U$ $\mathbb R^n$ $U$

— kjetil b halvorsen
quelle

Ich verstehe nicht, wo Sie beweisen, dass das gleiche Gesetz wie , das von abhängig ist ?

P Y

$PY$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

— Stéphane Laurent

Beachten Sie, dass abstrakt die bedingte Wahrscheinlichkeit (wirklich Erwartung, einen linearen Raum zu erhalten ...) eine Projektion ist! So Anlage auf , wenn ein linearer Unterraum ist, ist die gleiche wie auf dem hervorstehenden .

Y \in U

$Y \in U$

U

$U$

U

$U$

— kjetil b halvorsen

Entschuldigung, aber Ihre Behauptung hat keinen Sinn.

— Stéphane Laurent

Das ist die Intuition, ein Beweis muss vielleicht anders sein. Ich habe jetzt keine Zeit mehr, aber beachten Sie, dass die multivariate Normalverteilung durch Angabe der (Normal-) Verteilung aller linearen Kombinationen der Komponenten von . Wenn die Kovarianzmatrix der Vorsprung , wählen als Orthonormalbasis von . geschrieben werden . Wählen Sie als Koeffizienten für die lineare Kombination von , Sie werden sehen, dass die Varianz eins ist. Wählen Sie für den Koeffizienten einen zu orthogonalen Vektor der Länge Eins. Sie sehen, dass die Varianz Null ist.

Y

$Y$

P

$P$

u_{1}, \dots, u_{k}

$u_1, \dots, u_k$

U

$U$

P

$P$

P = \sum u_{i} u_{i}^{T}

$P=\sum u_i u_i^T$

u_{i}

$u_i$

U

$U$

— kjetil b halvorsen

Die Verteilung von stimmt also mit der Standardnormalen in überein , die die bedingte Verteilung von bei .

P Y

$P Y$

U

$U$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

— kjetil b halvorsen