Effizienter Schätzer aus unzureichender Statistik

Angenommen, ich habe eine Statistik und weiß mit Sicherheit, dass es nicht ausreicht, einen Parameter zu schätzen . $T(X)$ $\theta$

Ist es immer noch möglich, einen Schätzer , der effizient ist (unter konvexem Verlust), oder gibt es einen Satz (so etwas wie ein umgekehrter Rao-Blackwell), der besagt, dass dies unmöglich ist? $\hat\theta(T(X))$

Sie können die Frage unter der Effizienzdefinition des Erreichens der CRLB für unverzerrte Schätzer oder des über die reale Linie gemittelten mittleren quadratischen Fehlers beantworten oder wenn dies einer anderen Leistungsmessung hilft, die für die Beantwortung der Frage besser geeignet ist.

estimators sufficient-statistics efficiency

— Cagdas Ozgenc
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Soweit ich weiß, kommt Effizienz nach Beständigkeit ins Spiel. Wenn wir einen konsistenten Schätzer haben, sind wir interessiert zu wissen, wie schnell dieser Schätzer zu dem interessierenden Parameter (Effizienz) konvergiert. Ich denke, Sie können auch fragen, ob es einen konsistenten Schätzer gibt, der nicht ausreicht.

— Hartnäckig

@StubbornAtom Ich dachte an Schätzungen der maximalen Wahrscheinlichkeit von Parametern aus nicht exponentiellen Familien. Sie sind nicht ausreichend, aber asymptotisch konsistent und vielleicht effizient. Aber sobald es um unendliche Daten geht, sind die Dinge vielleicht anders.

— Cagdas Ozgenc

Nicht ganz richtig. Die -Familie ist nicht exponentiell. Für eine Stichprobe der Größe die aus dieser Verteilung gezogen wird, ist eine ausreichende Statistik sowie ein konsistenter Schätzer für .

U (0, θ)

$U(0,\theta)$

n

$n$

{\hat{θ}}_{MLE} = max_{1 \leq i \leq n} X_{i}

$\hat\theta_{\text{MLE}}=\max_{1\le i\le n} X_i$

θ

$\theta$

— Hartnäckig

@StubbornAtom Das ist der sich ändernde Unterstützungsfall (der eine Ausnahme zum Pitman-Koopman-Theorem darstellt). Sie haben den Punkt meines Kommentars verpasst. Grundsätzlich gilt das nicht immer.

— Cagdas Ozgenc

Denken Sie darüber nach: Für eine Stichprobe der Größe die aus der Cauchy- Verteilung , sind einige Stichprobenquantile wie der Median konsistente Schätzer für . Der einzige Satz ausreichender Statistiken ist jedoch die Stichprobe selbst oder der vollständige Satz von Auftragsstatistiken. Aber ich glaube ich habe gelesen, dass der Stichprobenmedian in diesem Fall ineffizient ist. ( Siehe auch : stats.stackexchange.com/questions/373526/… ).

n

$n$

(θ, 1)

$(\theta,1)$

θ

$\theta$

— Hartnäckig

Da [unter der Annahme seiner Existenz] eine minimal ausreichende Statistik eine Funktion einer Stichprobe ist , ist ein effizienter Schätzer kann als , was das Verständnis der Frage erschwert. $S_n$ $(X_1,\ldots,X_n)$

S_{n} = S_{n} (X_{1}, \dots, X_{n})

$S_n=S_n(X_1,\ldots,X_n)$

\hat{θ} (S)

$\hat{\theta}(S)$

\hat{θ} (S (X_{1}, \dots, X_{n}))

$\hat{\theta}(S(X_1,\ldots,X_n))$

Beachten Sie, dass die Cramèr-Rao-Untergrenze nur durch einen effizienten Schätzer des natürlichen Parameters bei der Einstellung von Exponentialfamilien erreicht wird und dass es viele Fälle gibt, in denen es keinen einheitlichen unverzerrten Schätzer mit minimaler Varianz gibt.

Beachten Sie auch, dass außerhalb exponentieller Familien zulässige Schätzer nicht ausreichen können.

— Xi'an
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