Sind Produkte von austauschbaren Wohnmobilen austauschbar?

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Angenommen, und sind zwei zufällige Variablen, deren Komponenten binäre RVs sind (daher ) und beide ( und ) sind austauschbar, dh

X = (X_{1}, . . ., X_{n}), : (Ω, A, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$X=(X_1, ..., X_n),: (\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$

Y = (Y_{1}, . . ., Y_{n}) : (Ω, A, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$Y=(Y_1, ..., Y_n):(\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$

X_{i} (ω) \in {0, 1}, Y_{i} (ω) \in {0, 1}

$X_i(\omega)\in\{0,1\}, Y_i(\omega) \in \{0,1\}$

X

$X$

Y

$Y$

P ((X_{1}, . . ., X_{n}) = (x_{1}, . . ., x_{n})) = P ((X_{σ (1)}, . . ., X_{σ (n)}) = (x_{1}, . . ., x_{n}))

$P((X_1, ..., X_n)=(x_1, ..., x_n))= P((X_{\sigma(1)}, ..., X_{\sigma(n)})=(x_1, ..., x_n))$

und

P ((Y_{1}, . . ., Y_{n}) = (y_{1}, . . ., y_{n})) = P ((Y_{σ (1)}, . . ., Y_{σ (n)}) = (y_{1}, . . ., y_{n}))

$P((Y_1, ..., Y_n)=(y_1, ..., y_n))= P((Y_{\sigma(1)}, ..., Y_{\sigma(n)})=(y_1, ..., y_n))$ für alle Permutationen

σ

$\sigma$ .

Meine Frage ist, ob es gilt, dass $Z=(X_1Y_1, ..., X_nY_n)$ austauschbar ist?

Oder anders gerahmt, welche Annahmen sind notwendig, damit $Z$ austauschbar ist?

bayesian exchangeability

— Sebastian
quelle

Es sieht so aus, als ob Ihre Frage mindestens einen Tippfehler enthält: Sie wirklich, dass die letzte Komponente von " " ist ? Die Notation ist undurchsichtig: Behaupten Sie, sei eine Zufallsvariable mit binären Komponenten und ist eine Zufallsvariable, deren Komponenten binäre Funktionen von binären Vektoren sind? Wenn Sie ein Problem so abstrakt angeben, (1) ist es entscheidend, dass Sie alles genau richtig machen, und (2) Sie sollten es stattdessen auf der Mathe-Website veröffentlichen.

Z

$Z$

Y_{n} Y_{n}

$Y_nY_n$

X

$X$

Y

$Y$

n

$n$

— whuber

Vielen Dank für den Hinweis. Ich werde die Notation klarstellen

— Sebastian

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Das Produkt muss nicht austauschbar sein. Das folgende Gegenbeispiel zeigt, was und warum schief gehen kann.

Wir werden die gemeinsamen Verteilungen von und von und annehmen, dass jede dieser bivariaten Zufallsvariablen unabhängig ist. Somit sind die austauschbar, sofern sie identisch verteilt sind, und ebenso für die Alle Variablen sind Bernoulli-Variablen: Per Definition konzentrieren sich ihre Wahrscheinlichkeiten auf die Menge $P_1$ $(X_1,Y_1)$ $P_2$ $(X_2,Y_2)$ $X_i$ $Y_i.$ $\{0,1\}.$

Sei und für $P_1(0,0) = P_1(1,1) = 1/2$ $P_2(x,y)=1/4$ $x,y\in\{0,1\}.$

Da alle Randverteilungen Bernoulli die Annahme der Grenzaustauschbarkeit. Berechnen Sie nun jedoch, dass und und zeigen Sie dass die Produkte unterschiedliche Verteilungen haben (und daher nicht austauschbar sind). $(1/2),$ $\Pr(X_1Y_1=0) = 1/2$ $\Pr(X_2Y_2=0)=3/4,$

Dies zeigt, dass die gemeinsame Verteilung wichtig ist.

Die gemeinsamen Verteilungen können jedoch unterschiedlich sein, die Produkte können jedoch austauschbar sein, so dass die Austauschbarkeit der bivariaten Zufallsvariablen , obwohl eine ausreichende Bedingung für die Austauschbarkeit der Produkte keine notwendige Bedingung ist. $(X_i,Y_i)$ $X_iY_i,$

Ein Beispiel hierfür sind ternäre Variablen mit Werten in Berücksichtigen Sie beispielsweise die folgenden Wahrscheinlichkeiten: $\{-1,0,1\}.$

P_{1} ((- 1, y)) = 1 / 6 (y \in {- 1, 0, 1}); P_{1} ((1, - 1)) = P_{1} ((1, 1)) = 1 / 4

$P_1((-1,y)) = 1/6\quad(y\in\{-1,0,1\});\quad P_1((1,-1)) = P_1((1,1))=1/4$

und

P_{2} ((x, y)) = P_{1} ((- x, y)) .

$P_2((x,y)) = P_1((-x,y)).$

Es ist einfach zu überprüfen, ob die Randverteilungen des gleiche Wahrscheinlichkeiten von bis zuweisen die Randverteilungen des Wahrscheinlichkeitsvektoren und dass die Die Verteilung des ist dieselbe wie die des Beachten Sie jedoch, dass unterschiedliche Verteilungen haben, weil $X_i$ $1/2$ $\pm 1,$ $Y_i$ $(5/12, 1/6, 5/12),$ $X_iY_i$ $Y_i.$ $(X_i,Y_i)$

P_{1} ((- 1, 0)) = 1 / 6 \neq 0 = P_{2} ((- 1, 0)) .

$P_1((-1,0)) = 1/6 \ne 0 = P_2((-1,0)).$

Somit sind die austauschbar, die sind austauschbar, die sind austauschbar, aber die sind nicht austauschbar. $X_i$ $Y_i$ $X_iY_i$ $(X_i,Y_i)$

— whuber
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Angenommen, der Probenraum besteht aus drei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen, für die Werte von und für die Werte von annimmt Dann sind austauschbar, ebenso wie . Aber die entsprechenden Werte von sind so dass dies eindeutig nicht sind austauschbar. $X$

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

$(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$

Y

$Y$

(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) .

$(1,0,0), (0,0,1), (0,1,0).$

X_{1}, X_{2}, X_{3}

$X_1,X_2,X_3$

Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}

$Y_1,Y_2,Y_3$

Z = (X_{1} Y_{1}, \dots, X_{3} Y_{3})

$Z=(X_1 Y_1,\dots, X_3 Y_3)$

(1, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)

$(1,0,0),(0,0,0),(0,0,0)$

Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}

$Z_1,Z_2,Z_3$

— Jarle Tufto
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