Wie heißt diese Parameterschätzungsstrategie?

Sei eine Zufallsstichprobe aus einer Normalverteilung mit Mittelwert und Varianz . Betrachten Sie das Problem der Schätzung von . $X_1, X_2, \ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma^2$ $P(X > 100)$

Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, besteht darin, zu berechnen . Dieser "Plug-in" -Schätzer ist konsistent und seine Vorspannung und MSE sind einfach zu berechnen. $n^{-1}\sum_{i=1}^n \mathbb{1}(X_i > 100)$

Eine kleinere Gruppe meiner Schüler hat einen anderen Weg gefunden, um das Problem anzugehen: Berechnen Sie Dies kann durch die Tatsache motiviert sein, dass Dieser Schätzer ist ebenfalls konsistent, aber seine Verzerrung und MSE sind schwieriger zu berechnen.

1 - Φ (\frac{100 - \bar{x}}{s}) .

$1 - \Phi\left(\frac{100 - \bar{x}}{s} \right).$

P (X > 100) = 1 - Φ [(100 - μ) / σ] .

$P(X > 100) = 1 - \Phi[(100 - \mu)/\sigma].$

Meine Frage lautet: Hat diese Art von Strategie einen Namen? Ich frage, weil wir immer noch Dinge einstecken, aber dies ist kein sogenannter Plug-In-Schätzer.

— Taylor
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Ist das nicht nur die Gaußsche MLE?

— Shadowtalker

@shadowtalker Ja, es wäre das Invarianzprinzip, wenn Sie die MLE für die Varianz verwenden würden, aber wir definieren diese Stichprobenvarianz nicht so lange wie die, bei der Sie durch dividieren .

n - 1

$n-1$

— Taylor

Ich würde den zweiten als "Plug-in" -Schätzer bezeichnen, während der erste der Momentschätzer ist.

— Xi'an

Es ist Rao-Blackwellized ... aber das ist nicht sehr spezifisch

— Taylor

Die zweite Methode ist viel leistungsfähiger, da sie die Verteilungsannahme der Normalität verwendet. Allerdings ist normalerweise nicht wegen der Unsicherheit in verteilten . Schlagen Sie die Verteilung mit Freiheitsgraden nach.

\frac{100 - \bar{x}}{s}

$\frac{100-\bar x}{s}$

s

$s$

t

$t$

n

$n$

— Dave Fournier

Ihr zweiter Schätzer ist der "Plug-in" -Schätzer. Basierend auf der Invarianzeigenschaft von MLE ist er der Maximum-Likelihood-Schätzer (unter den normalen Annahmen). Der erste Schätzer könnte als Momentschätzer bezeichnet werden, könnte aber auch als nicht parametrisch angesehen werden, da er ohne Notwendigkeit einer Normalitätsannahme unverzerrt ist.

Sie könnten also versuchen, mit dem Rao-Blackwell-Theorem einen besseren unverzerrten Schätzer zu finden.

— kjetil b halvorsen
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danke (+1) Ich bin mir nicht sicher, ob Sie die obige Diskussion gesehen haben, aber ich glaube, dass nicht die MLE für iid normal ist Daten.

s^{2} = \sum_{i} (x_{i} - \bar{x})^{2} / (n - 1)

$s^2 = \sum_i(x_i - \bar{x})^2/(n-1)$

— Taylor

Ja, also durch als Teiler ersetzen . Rao-Blackwellization kann zumindest ungefähr durch Simulation durchgeführt werden, genaue Berechnung Ich bin nicht so sicher ...

n

$n$

— kjetil b halvorsen