Wie kann die Ergebnisverteilung für mehrere Würfel einfach ermittelt werden?

Ich möchte die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Summe einer Kombination von Würfeln berechnen.

Ich erinnere mich, dass die Wahrscheinlichkeit von die Anzahl der Kombinationen ist, die diese Anzahl über die Gesamtanzahl der Kombinationen summieren (vorausgesetzt, die Würfel haben eine gleichmäßige Verteilung).

Was sind die Formeln für

• Die Anzahl der Kombinationen insgesamt
• Die Anzahl der Kombinationen, die eine bestimmte Anzahl ergeben

Genaue Lösungen

Die Anzahl der Kombinationen in Würfen beträgt natürlich 6 n .$n$$6^n$

Diese Berechnungen werden am einfachsten mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion für einen Würfel durchgeführt.

$$p(x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 = x \frac{1-x^6}{1-x}.$$

(Tatsächlich ist dies das $6$ fache der pgf - ich werde mich am Ende um den Faktor $6$ kümmern .)

Der pgf für $n$ Rollen ist $p(x)^n$ . Wir können dies ziemlich direkt berechnen - es ist keine geschlossene Form, aber es ist eine nützliche - unter Verwendung des Binomialsatzes:

$$p(x)^n = x^n (1 - x^6)^n (1 - x)^{-n}$$

$$= x^n \left( \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^k x^{6k} \right) \left( \sum_{j=0}^{\infty} {-n \choose j} (-1)^j x^j\right).$$

Die Anzahl der Möglichkeiten, auf dem Würfel eine Summe gleich zu erhalten, ist der Koeffizient von in diesem Produkt, den wir als isolieren können$m$$x^m$

$$\sum_{6k + j = m - n} {n \choose k}{-n \choose j}(-1)^{k+j}.$$

Die Summe ist über alle nichtnegativen und für die ; es ist also endlich und hat nur ungefähr Terme. Zum Beispiel ist die Anzahl der Möglichkeiten, in Würfen zu addieren, eine Summe von nur zwei Begriffen, da nur als und :$k$$j$$6k + j = m - n$$(m-n)/6$$m = 14$$n = 3$$11 = 14-3$$6 \cdot 0 + 11$$6 \cdot 1 + 5$

$$-{3 \choose 0} {-3 \choose 11} + {3 \choose 1}{-3 \choose 5}$$

$$= 1 \frac{(-3)(-4)\cdots(-13)}{11!} + 3 \frac{(-3)(-4)\cdots(-7)}{5!}$$

$$= \frac{1}{2} 12 \cdot 13 - \frac{3}{2} 6 \cdot 7 = 15.$$

(Sie können auch klug sein und beachten, dass die Antwort für durch die Symmetrie 1 <-> 6, 2 <-> 5 und 3 <-> 4 dieselbe ist, und es gibt nur einen Weg, sie zu erweitern als , und zwar mit und , was ergibt$m = 7$$7 - 3$$6 k + j$$k = 0$$j = 4$

$${3 \choose 0}{-3 \choose 4} = 15 \text{.}$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt daher 15/6 = , ungefähr 14%.$15/6^3$$5/36$

Wenn dies schmerzhaft wird, liefert der zentrale Grenzwertsatz gute Annäherungen (zumindest an die zentralen Terme, bei denen zwischen und : Auf relativer Basis werden die Näherungswerte für die Endwerte immer schlechter, je größer wird.$m$$\frac{7 n}{2} - 3 \sqrt{n}$$\frac{7 n}{2} + 3 \sqrt{n}$$n$

Ich sehe, dass diese Formel im Wikipedia-Artikel Srikant-Referenzen angegeben ist, aber weder eine Begründung noch Beispiele angegeben sind. Wenn vielleicht dieser Ansatz sieht zu abstrakt, Feuer Ihres Lieblings - Computer - Algebra - System und stellen sie die erweitern Leistung von : Sie können die ganze lesen Satz von Werten sofort. ZB ist ein Mathematica-Einzeiler$n^{\text{th}}$$x + x^2 + \cdots + x^6$

With[{n=3}, CoefficientList[Expand[(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^n], x]]

Eine weitere Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelwurfs schnell zu berechnen, ist die Verwendung eines speziellen Taschenrechners, der speziell für diesen Zweck entwickelt wurde.

Torben Mogensen , CS-Professor an der DIKU, hat einen hervorragenden Würfelroller namens Troll .

Der Troll-Würfelroller und der Wahrscheinlichkeitsrechner drucken die Wahrscheinlichkeitsverteilung (pmf, Histogramm und optional cdf oder ccdf), den Mittelwert, die Streuung und die mittlere Abweichung für eine Vielzahl von komplizierten Würfelwurfmechanismen aus. Hier einige Beispiele, die Trolls Würfelwurfsprache demonstrieren:

Rollen 3 6-seitige Würfel und summieren sie: sum 3d6.

Rolle 4 6-seitige Würfel, halten Sie die höchste 3 und summieren sie: sum largest 3 4d6.

Rollen Sie eine „Explosion“ 6-seitigen Würfel (dh jederzeit eine „6“ kommt, fügen Sie 6 auf Ihre Gesamt und Rolle wieder): sum (accumulate y:=d6 while y=6).

Der SML- Quellcode von Troll ist verfügbar, wenn Sie sehen möchten, wie er implementiert ist.

Professor Morgensen hat auch eine 29-seitige Abhandlung mit dem Titel " Würfelwälzmechanismen in RPGs ", in der er viele der von Troll implementierten Würfelwälzmechanismen und einige der dahinter stehenden Mathematiken behandelt.

Eine ähnliche kostenlose Open-Source-Software ist Dicelab , die sowohl unter Linux als auch unter Windows funktioniert.

$\newcommand{red}{\color{red}}$ $\newcommand{blue}{\color{blue}}$

Der erste Würfel sei rot und der zweite schwarz. Dann gibt es 36 mögliche Ergebnisse:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} &1&2&3&4&5&6\\\hline \red{1}&\red{1},1&\red{1},2&\red{1},3&\red{1},4&\red{1},5&\red{1},6\\ &\blue{^2}&\blue{^3}&\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}\\\hline \red{2}&\red{2},1&\red{2},2&\red{2},3&\red{2},4&\red{2},5&\red{2},6\\ &\blue{^3}&\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}\\\hline \red{3}&\red{3},1&\red{3},2&\red{3},3&\red{3},4&\red{3},5&\red{3},6\\ &\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}\\\hline \red{4}&\red{4},1&\red{4},2&\red{4},3&\red{4},4&\red{4},5&\red{4},6\\ &\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}\\\hline \red{5}&\red{5},1&\red{5},2&\red{5},3&\red{5},4&\red{5},5&\red{5},6\\ &\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}&\blue{^{11}}\\\hline \red{6}&\red{6},1&\red{6},2&\red{6},3&\red{6},4&\red{6},5&\red{6},6\\ &\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}&\blue{^{11}}&\blue{^{12}}\\\hline \end{array}$$

Jedes dieser 36 ( ) Ergebnisse ist gleich wahrscheinlich.$\red{\text{red}},\text{black}$

Wenn Sie die Zahlen auf den Gesichtern summieren (Summe in ), erhalten mehrere der (roten, schwarzen) Ergebnisse dieselbe Summe - dies können Sie anhand der Tabelle in Ihrer Frage sehen.$\blue{\text{blue}}$

So gibt es zum Beispiel nur einen Weg, um insgesamt (dh nur das Ereignis ( )), aber es gibt zwei Wege, um zu erhalten (dh die elementaren Ereignisse ( ) und ( )). Es ist also doppelt so wahrscheinlich, dass insgesamt auftauchen wie . Ebenso gibt es drei Möglichkeiten, , vier Möglichkeiten, und so weiter zu bekommen.$2$$\red{1},1$$3$$\red{2},1$$\red{1},2$$3$$2$$4$$5$

Da Sie nun 36 mögliche (rot, schwarz) Ergebnisse haben, beträgt die Gesamtzahl der Möglichkeiten, die verschiedenen Summen zu erhalten, ebenfalls 36, sodass Sie am Ende durch 36 dividieren sollten. Ihre Gesamtwahrscheinlichkeit wird 1 sein, wie es sein sollte.

Es gibt eine sehr gute Möglichkeit, die Kombinationen oder Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle (z. B. Excel) zu berechnen, mit der die Windungen direkt berechnet werden.

Ich mache es in Bezug auf Wahrscheinlichkeiten und illustriere es für sechsseitige Würfel, aber Sie können es für Würfel mit einer beliebigen Anzahl von Seiten (einschließlich des Hinzufügens verschiedener) tun.

(Übrigens ist es auch einfach in so etwas wie R oder Matlab, das Faltungen machen wird)

Beginnen Sie mit einem leeren Blatt in einigen Spalten und gehen Sie von oben ein paar Zeilen nach unten (mehr als 6).

1. Setzen Sie den Wert 1 in eine Zelle. Das sind die Wahrscheinlichkeiten, die mit 0 Würfeln verbunden sind. setze eine 0 nach links; Das ist die Wertespalte - von dort weiter runter mit 1,2,3 runter so weit wie nötig.

2. Verschieben Sie eine Spalte nach rechts und eine Zeile nach unten von der '1'. Geben Sie die Formel "= Summe" ein (dann Pfeil nach links nach oben (um die Zelle mit 1 darin hervorzuheben), drücken Sie ":" (um einen Bereich einzugeben) und dann fünfmal Pfeil nach oben, gefolgt von ") / 6 "und drücken Sie die Eingabetaste - so erhalten Sie eine Formel wie =sum(c4:c9)/6 (hier C9ist die Zelle mit der 1).

   

   Kopieren Sie dann die Formel und fügen Sie sie in die 5 Zellen darunter ein. Sie sollten jeweils 0,16667 (ish) enthalten.

   

   Geben Sie nichts in die leeren Zellen ein, auf die sich diese Formeln beziehen!

3. Verschiebe 1 nach unten und 1 nach rechts oben in diese Wertespalte und füge ein ...

   

   ... weitere 11 Werte. Dies sind die Wahrscheinlichkeiten für zwei Würfel.

   

   Es spielt keine Rolle, wenn Sie ein paar zu viele einfügen, erhalten Sie nur Nullen.

4. Wiederholen Sie Schritt 3 für die nächste Spalte für drei Würfel und noch einmal für vier, fünf usw. Würfel.

   

   Wir sehen hier, dass die Wahrscheinlichkeit, auf 4W6 zu würfeln, 0,096451 beträgt (wenn Sie mit 4 6 multiplizieren , können Sie es als exakten Bruch schreiben).$12$$4^6$

Wenn Sie mit Excel vertraut sind, z. B. das Kopieren einer Formel aus einer Zelle und das Einfügen in viele Zellen in einer Spalte, können Sie in etwa einer Minute alle Tabellen mit einer Größe von bis zu 10 d6 generieren (möglicherweise schneller, wenn Sie dies getan haben) einige Male).

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Wenn Sie Kombinationszählungen anstelle von Wahrscheinlichkeiten wünschen, teilen Sie nicht durch 6.

Wenn Sie Würfel mit einer unterschiedlichen Anzahl von Gesichtern haben möchten, können Sie (statt 6) Zellen addieren und dann durch k teilen . Sie können Würfel über Spalten mischen (z. B. eine Spalte für d6 und eine für d8, um die Wahrscheinlichkeitsfunktion für d6 + d8 zu erhalten):$k$$k$

Ungefähre Lösung

Ich habe die genaue Lösung bereits früher erklärt (siehe unten). Ich werde jetzt eine ungefähre Lösung anbieten, die Ihren Bedürfnissen besser entspricht.

Lassen:

$X_i$$s$$i=1, ... n$

$S$$n$

$\bar{X}$

Per Definition haben wir:

$\bar{X} = \frac{\sum_iX_i}{n}$

Mit anderen Worten,

$\bar{X} = \frac{S}{n}$

${X_i}$$n$$n$$n \rightarrow \infty$

$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$

woher,

$\mu = (s+1)/2$

$\sigma^2 = (s^2-1)/12$

$X_i$

Aber,

$S = n \bar{X}$

So haben wir:

$S \sim N(n \mu, n \sigma^2)$

Genaue Lösung

Wikipedia hat eine kurze Erklärung, wie man die erforderlichen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Ich werde etwas näher darauf eingehen, warum die Erklärung dort Sinn macht. Soweit möglich habe ich eine ähnliche Schreibweise wie im Wikipedia-Artikel verwendet.

$n$$s$$n$$k$

Definieren:

$F_{s,n}(k)$$k$$n$$s$

Per Definition haben wir:

$F_{s,1}(k) = \frac{1}{s}$

$s$$k$$\frac{1}{s}$

$k$$k-1$$k-1$$1$

$F_{s,2}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-1}{F_{s,1}(i) F_{s,1}(k-i)}$

$k$$k-2$$k-1$$2$

$F_{s,3}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-2}{F_{s,1}(i) F_{s,2}(k-i)}$

Wenn wir die obige Logik fortsetzen, erhalten wir die Rekursionsgleichung:

$F_{s,n}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-n+1}{F_{s,1}(i) F_{s,n-1}(k-i)}$

Weitere Informationen finden Sie unter dem Wikipedia-Link.

Mit charakteristischen Funktionen können Berechnungen mit Summen und Differenzen von Zufallsvariablen sehr einfach durchgeführt werden. Mathematica verfügt über viele Funktionen, um mit statistischen Verteilungen zu arbeiten, einschließlich einer eingebauten Funktion, um eine Verteilung in ihre charakteristische Funktion umzuwandeln.

Ich möchte dies an zwei konkreten Beispielen veranschaulichen: (1) Angenommen, Sie möchten die Ergebnisse des Würfelns einer Würfelsammlung mit unterschiedlicher Anzahl von Seiten ermitteln, z. B. zwei sechsseitige Würfel plus einen achtseitigen Würfel (d. H , 2W6 + d8 )? Oder (2) nehmen Sie an, Sie wollten den Unterschied zwischen zwei Würfeln (z. B. d6-d6 ) ermitteln?

$X$ $f$$\varphi_X(t)$$f$$\varphi_X(t) = \mathcal{F}\{f\}(t) = E[e^{i t X}]$

$X$$Y$$f$$g$$h$$X + Y$$h(n) = (f \ast g)(n) = \sum_{m=-\infty}^\infty f(m) g(n-m)$

Wir können die Faltungseigenschaft von Fourier-Transformationen verwenden, um dies in Bezug auf charakteristische Funktionen einfacher wiederzugeben:

$\varphi_{X+Y}(t)$$X$$Y$$\varphi_{X}(t) \varphi_{Y}(t)$

Mit dieser Mathematica-Funktion wird die charakteristische Funktion für einen einseitigen Würfel erstellt:

MakeCf [s_]: = 
 Modul [{Cf}, 
  Cf: = CharacteristicFunction [DiscreteUniformDistribution [{1, s}], 
    t];
  Cf]

Die PMF einer Verteilung kann aus ihrer charakteristischen Funktion wiederhergestellt werden, da Fourier-Transformationen invertierbar sind. Hier ist der Mathematica-Code, um dies zu tun:

RecoverPmf [Cf_]: = 
  Modul [{F}, 
    F [y_]: = SeriesCoefficient [Cf /. t -> -I * Log [x], {x, 0, y}];
    F]

Setzen wir unser Beispiel fort, sei F die PMF, die sich aus 2d6 + d8 ergibt.

F := RecoverPmf[MakeCf[6]^2 MakeCf[8]]

$6^2 \cdot 8 = 288$$S=\{3,\ldots,20\}$$20 = 2 \cdot 6 + 8$

In: = F / @ Range [3, 20]

Out = {1/288, 1/96, 1/48, 5/144, 5/96, 7/96, 13/144, 5/48, 1/9, 1/9, \
5/48, 13/144, 7/96, 5/96, 5/144, 1/48, 1/96, 1/288}

Wenn Sie die Anzahl der Ergebnisse wissen möchten, die sich auf 10 summieren, berechnen Sie

In: = 6 ^ 2 8 F [10]

Out = 30

$X$$Y$$f$$g$$h$$X - Y$$h(n) = (f \star g)(n) = \sum_{m=-\infty}^\infty f(m) g(n+m)$

Wir können die Kreuzkorrelationseigenschaft von Fouriertransformationen verwenden, um dies in Bezug auf charakteristische Funktionen einfacher wiederzugeben:

$\varphi_{X-Y}(t)$${X,Y}$$\varphi_{X}(t)$$\varphi_{Y}(-t)$

Verwenden Sie Mathematica, um die pmf G von d6-d6 zu finden:

G := RecoverPmf[MakeCf[6] (MakeCf[6] /. t -> -t)]

$6^2 = 36$$S=\{-5,\ldots,5\}$$-5=1-6$$6-1=5$

In: = G / @ Range [-5, 5]

Out = {1/36, 1/18, 1/12, 1/9, 5/36, 1/6, 5/36, 1/9, 1/12, 1/18, 1/36}

Hier ist eine andere Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Summe von zwei Würfeln von Hand unter Verwendung von Faltungen zu berechnen.

Um das Beispiel einfach zu halten, berechnen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Summe eines dreiseitigen Würfels (d3), dessen Zufallsvariable wir X nennen, und eines zweiseitigen Würfels (d2), dessen Zufallsvariable wir verwenden ruf Y an.

Du wirst einen Tisch machen. Schreiben Sie in die oberste Zeile die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X (Ergebnisse des Rollens eines fairen d3). Schreiben Sie in der linken Spalte die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y (Ergebnisse des Rollens eines fairen d2).

Sie konstruieren das äußere Produkt der oberen Wahrscheinlichkeitsreihe mit der linken Wahrscheinlichkeitsspalte. Beispielsweise ist die untere rechte Zelle das Produkt von Pr [X = 3] = 1/3 mal Pr [Y = 2] = 1/2, wie in der beigefügten Abbildung gezeigt. In unserem vereinfachenden Beispiel sind alle Zellen gleich 1/6.

Als Nächstes summieren Sie entlang der schrägen Linien der Außenproduktmatrix, wie im beigefügten Diagramm gezeigt. Jede schräge Linie verläuft durch eine oder mehrere Zellen, die ich gleich gefärbt habe: Die obere Linie verläuft durch eine blaue Zelle, die nächste Linie verläuft durch zwei rote Zellen und so weiter.

Jede der Summen entlang der Schrägstriche repräsentiert eine Wahrscheinlichkeit in der resultierenden Verteilung. Zum Beispiel entspricht die Summe der roten Zellen der Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden Würfel zu 3 addieren. Diese Wahrscheinlichkeiten sind rechts unten im beigefügten Diagramm dargestellt.

Diese Technik kann mit zwei beliebigen diskreten Verteilungen mit endlicher Unterstützung angewendet werden. Und Sie können es iterativ anwenden. Wenn Sie beispielsweise die Verteilung von drei sechsseitigen Würfeln (3d6) kennen möchten, können Sie zuerst 2d6 = d6 + d6 berechnen; dann ist 3d6 = d6 + 2d6.

Es gibt eine kostenlose (aber geschlossene Lizenz) Programmiersprache namens J . Es ist eine Array-basierte Sprache mit Wurzeln in APL. Es hat eingebaute Operatoren, um äußere Produkte und Summen entlang der Schrägstriche in Matrizen auszuführen, was die von mir dargestellte Technik recht einfach zu implementieren macht.

Im folgenden J-Code definiere ich zwei Verben. Zuerst dkonstruiert das Verb ein Array, das die PMF eines s-seitigen Würfels darstellt. Zum Beispiel d 6ist die PMF eines 6-seitigen Würfels. Zweitens findet das Verb convdas äußere Produkt von zwei Arrays und Summen entlang der schrägen Linien. So conv~ d 6druckt die PMF von 2d6 aus:

d =: $%
conv =: + //. @ (* /)
|: (2 + i.11) ,: conv ~ d 6
 2 0,0277778
 3 0,0555556
 4 0,0833333
 5 0,111111
 6 0,138889
 7 0,166667
 8 0,138889
 9 0,111111
10 0,0833333
11 0,0555556
12 0,0277778

Wie Sie sehen können, ist J kryptisch, aber knapp.

Dies ist eigentlich eine überraschend komplizierte Frage. Zum Glück gibt es für Sie eine genaue Lösung, die hier sehr gut erklärt wird:

http://mathworld.wolfram.com/Dice.html

Die Wahrscheinlichkeit, die Sie suchen, ergibt sich aus Gleichung (10): "Die Wahrscheinlichkeit, p Punkte (eine Rolle von p) auf n s-seitigen Würfeln zu erhalten".

In Ihrem Fall: p = die beobachtete Punktzahl (Summe aller Würfel), n = die Anzahl der Würfel, s = 6 (6-seitige Würfel). Dies gibt Ihnen die folgende Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion:

$$P(X_n = p) = \frac{1}{s^n} \sum_{k=0}^{\lfloor(p-n)/6\rfloor} (-1)^k {n \choose k} {p-6k-1 \choose n-1}$$

Ich liebe den Benutzernamen! Gut gemacht :)

$6\times 6=36$

$\frac{1}{36}$$2$$\frac{2}{36}$$3$$\frac{4}{36}$$4$

$n$$n-1$

$$a_n(l) = \sum_{l-6 \leq k \leq l-1 \\ \text{ and } n-1 \leq k \leq 6(n-1)} a_{n-1}(k)$$

Die erste Grenze für k in der Summe sind die sechs vorhergehenden Zahlen. Wenn Sie beispielsweise 13 mit 3 Würfeln würfeln möchten, können Sie dies tun, wenn Ihre ersten beiden Würfel zwischen 7 und 12 würfeln.

Die zweite Grenze für k in der Summation ist die Grenze dessen, was mit n-1 Würfeln gewürfelt werden kann

Das Ergebnis:

1 1 1  1  1   1
1 2 3  4  5   6   5  4   3   2   1
1 3 6  10 15  21  25 27  27  25  21  15  10  6    3   1
1 4 10 20 35  56  80 104 125 140 146 140 125 104  80  56  35  20  10   4   1
1 5 15 35 70 126 205 305 420 540 651 735 780 780 735 651 540 420 305 205 126 70 35 15 5 1  

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edit: Die obige Antwort war eine Antwort von einer anderen Frage , die von C. Ross in die Frage eingearbeitet wurde

Der folgende Code zeigt, wie die Berechnungen für diese Antwort (auf die Frage nach 5 Würfeln) in R durchgeführt wurden. Sie ähneln den in Excel durchgeführten Summierungen in der Antwort von Glen B.

# recursive formula
nextdice <- function(n,a,l) {
  x = 0
  for (i in 1:6) {
    if ((l-i >= n-1) & (l-i<=6*(n-1))) {
      x = x+a[l-i-(n-2)]
    }
  }
  return(x)  
}  

# generating combinations for rolling with up to 5 dices
a_1 <- rep(1,6)
a_2 <- sapply(2:12,FUN = function(x) {nextdice(2,a_1,x)})
a_3 <- sapply(3:18,FUN = function(x) {nextdice(3,a_2,x)})
a_4 <- sapply(4:24,FUN = function(x) {nextdice(4,a_3,x)})
a_5 <- sapply(5:30,FUN = function(x) {nextdice(5,a_4,x)})

$X_n=k$$x^{k}$

$$\left(\frac{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x^1}{6}\right)^n=\left(\frac{x(1-x^6)}{6(1-x)}\right)^n$$

$k=22$$P(X_6=22)= \frac{10}{6^6}$