Grenzen der Differenz korrelierter Zufallsvariablen

Bei zwei stark korrelierten Zufallsvariablen und möchte ich die Wahrscheinlichkeit begrenzen, dass die Differenzüberschreitet einen bestimmten Betrag: $X$ $Y$ $|X - Y|$

P (| X - Y | > K) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass:

Es ist bekannt, dass der Korrelationskoeffizient "hoch" ist, beispielsweise: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
$X,Y$ sind : $\mu_x = \mu_y = 0$
$-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (oder wenn das einfacher ist) $0 \leq x_i, y_i \leq 1$
(Wenn es die Sache einfacher macht, sagen wir, haben identische Varianz: ) $X,Y$ $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$

Ich bin mir nicht sicher, wie machbar es ist, eine Grenze für den Unterschied abzuleiten, wenn nur die obigen Informationen gegeben sind (ich konnte sicherlich nirgendwo hinkommen). Eine spezifische Lösung (falls vorhanden), obligatorische zusätzliche Beschränkungen für die Ausschüttungen oder nur Ratschläge zu einem Ansatz wären großartig.

correlation mathematical-statistics bounds

— Avanti89
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Auch ohne diese vereinfachenden Annahmen kann eine Grenze erhalten werden, indem einige übliche Werkzeuge kombiniert werden:

Die Varianz der Differenz zweier korrelierter Variablen . Es ermöglicht uns, ein Zwei-Variablen-Problem in ein univariates Problem umzuwandeln.
Chebyshevs Ungleichung . Es begrenzt die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert zu überschreiten.

Im Detail:

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot c o v (X, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

c o v (X, Y) = σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

Nach Chebyshevs Ungleichung gilt für jede Zufallsvariable : $Z$

Pr (| Z - μ | \geq k σ) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Dann (und unter Verwendung von : $\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

Pr (| X - Y - μ_{X} + μ_{Y} | \geq k \cdot \sqrt{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

Wir können die vorgeschlagenen vereinfachenden Annahmen verwenden, um einen einfacheren Ausdruck zu erhalten. Wann:

ρ_{X, Y} = c o v a r (X, Y) / σ_{X} σ_{Y} = 1 - ϵ

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{x} = μ_{y} = 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{X}^{2} = σ_{Y}^{2} = σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

Dann:

σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y} = 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 - (1 - ϵ)) = 2 σ^{2} ϵ

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

Und deshalb:

Pr (| X - Y | \geq k \cdot σ \sqrt{2 ϵ}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

Interessanterweise gilt dieses Ergebnis auch dann, wenn nicht klein ist und sich die Bedingung für die Korrelation von zu ändert, ändert sich das Ergebnis nicht (da es bereits eine Ungleichung ist). $\epsilon$ $=1-\epsilon$ $\geq 1-\epsilon$

— Pere
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