Verteilungen auf dem Simplex mit korrelierten Komponenten

Ich suche nach einer Art Verteilung über den Simplex, in der Komponenten auf ordinale Weise korreliert werden. Das heißt, wenn $p = (p_1, ..., p_J)$ aus unserer Verteilung auf dem Simplex gezogen wird, ich möchte $p_i$ positiv mit seinen Nachbarn korreliert werden und , sag. Ein Vanille-Dirichlet kann diese Anforderung eindeutig nicht erfüllen. Eine Option, nehme ich an, ist eine Mischung aus Dirichlet-Verteilungen; Wenn beispielsweise , könnte man D ( 1 , 1 , 0) nehmen$p_{i + 1}$$p_{i - 1}$$J = 4$$\mathcal D(1, 1, 0, 0) + \mathcal D(0, 1, 1, 0) + \mathcal D(0, 0, 1, 1)$ oder ähnliches, um eine Korrelation zu induzieren, aber ich frage mich, ob es etwas Natürlicheres gibt. Eine andere Möglichkeit, nehme ich an, ist eine Verteilung auf$\{1, 2, ..., J\}$ , sagen Sie$f(j | \eta)$ , setzen Sie eine Verteilung auf$\eta$ take$p_j = f(j | \eta)$ . So könnte ich zum Beispiel$\eta \sim \mbox{Beta}(\alpha, \beta)$ und .$f(j | \eta) = {J \choose j} \eta^j (1 - \eta)^{J - j}$

Auf jeden Fall möchte ich, dass alles, was ich am Ende habe, so gut wie möglich nachvollziehbar ist. Die Mischung aus Dirichlets ist ansprechend, weil ich eine nette bedingte Konjugation für mich in Gang bringen könnte, aber es ist nicht klar, wie man die Dinge einrichtet. Diese Frage spricht über die logistische Normalverteilung, aber ich weiß nicht viel darüber; ist es für die Bayes'sche Folgerung nachvollziehbar?

Natürlich sind die Komponenten eines Dirichlets bereits negativ korreliert, und die Frage nach einer "positiven Korrelation" ist wahrscheinlich nicht vollständig kohärent, da wenn es groß ist, von Natur aus den größten Teil der Masse einnimmt und somit die Wahrscheinlichkeit von erzwingt seine Nachbarn sollen klein sein. Vielleicht meine ich, dass p_i positiv mit p_ {i + 1} / \ sum_ {j \ ne i} p_j korreliert$p_i$$p_i$$p_{i + 1} / \sum_{j \ne i} p_j$ . Hoffentlich reicht die Frage aus, damit die Leute wissen, was ich will und mir helfen können.

Eine Möglichkeit, ein zufälliges ohne die durch die negativen Kovarianzen der Dirichlet-Verteilung auferlegten Einschränkungen auf dem Simplex leben zu lassen, besteht darin, , für , wobei die Matrix den Rang . Durch Hinzufügen der Einschränkung kann jede dimensionale Normalverteilung zugewiesen werden.$\theta=(\theta_1,\dots,\theta_k)$$\phi_i=\sum_{j=1}^k c_{ij} \log \theta_j$$i=1,\dots,k-1$$(k-1)\times k$$C=(c_{ij})$$k-1$$\sum_{i=1}^k\theta_i=1$$k-1$$\phi=(\phi_1,\dots,\phi_{k-1})$ .

Die Bayes'sche Folgerung lässt sich innerhalb dieser reichen Klasse von Verteilungen nachvollziehen, die Aitchison in einer Reihe von Arbeiten vorgestellt und untersucht hat

Zeitschrift der Royal Statistical Society, ,$\textbf{B}$$\textbf{44}$ , 139-177 (1982),

Zeitschrift der Royal Statistical Society, ,$\textbf{B}$$\textbf{47}$ , 136-146 (1985);

und in seinem Buch

$\textit{The Statistical Analysis of Compositional Data}$ . Chapman & Hall: London (1986).