Was sind einige Verteilungen über den Wahrscheinlichkeitssimplex?

Sei der Wahrscheinlichkeitssimplex der Dimension , dh ist so, dass und .$\Delta_{K}$$K-1$$x \in \Delta_{K}$$x_i \ge 0$$\sum_i x_i = 1$

Welche Distributionen, die häufig (oder bekannt oder in der Vergangenheit definiert) über existieren?$\Delta_{K}$

Natürlich gibt es die Distributionen Dirichlet und Logit-Normal. Gibt es andere Distributionen, die in diesem Zusammenhang natürlich vorkommen?

Dies wird in der Analyse kompositorischer Daten untersucht, es gibt ein Buch von Aitchison: Die statistische Analyse kompositorischer Daten .

Definiere den Simplex durch Beachten Sie, dass wir den Index , um die Dimension anzugeben! Definieren Sie das geometrische Mittel eines Elements des Simplex, als . Dann können wir die von Aitchison eingeführte Logratio-Transformation als . Diese Transformation befindet sich auf , also haben Sie eine Inverse, die ich Ihnen berechnen lassen kann Eigenschaften, dazu später mehr).

$$S^n =\{(x_1, \dots,x_{n+1}) \in {\mathbb R}^{n+1} \colon x_1>0,\dots, x_{n+1}>0, \sum_{i=1}^{n+1} x_i=1\}.$$ $n$$x$$\tilde{x}$$x=(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (\log(x_1/\tilde{x}), \dots, \log(x_n/\tilde{x})$${\mathbb R}^n$

Jetzt können Sie eine normale (oder eine beliebige) Verteilung, die in und diese inverse Transformation verwenden, um eine Verteilung im Simplex zu definieren. Die Möglichkeiten sind unbegrenzt, für jede multivariate Verteilung auf wir eine Verteilung auf dem Simplex.${\mathbb R}^n$${\mathbb R}^n$

Ich werde diesen Beitrag später mit einigen Beispielen und weiteren Details zu Log-Ratio-Transformationen ergänzen.