Kann jemand das Konzept der Austauschbarkeit erklären?

Ich sehe das Konzept der Austauschbarkeit in verschiedenen Zusammenhängen (z. B. Bayes'schen Modellen), habe den Begriff aber nie sehr gut verstanden.

1. Was bedeutet dieses Konzept?

2. Unter welchen Umständen wird dieses Konzept aufgerufen und warum?

Austauschbarkeit soll Symmetrie in einem Problem erfassen, Symmetrie in einem Sinn, der keine Unabhängigkeit erfordert. Formal ist eine Sequenz austauschbar, wenn ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung eine symmetrische Funktion ihrer Argumente ist. Intuitiv bedeutet dies, dass wir Variablen in der Sequenz vertauschen oder neu anordnen können, ohne ihre gemeinsame Verteilung zu ändern. Zum Beispiel ist jede IID-Sequenz (unabhängig, identisch verteilt) austauschbar - aber nicht umgekehrt. Jede austauschbare Sequenz ist jedoch identisch verteilt.$n$

Stellen Sie sich einen Tisch mit einem Bündel Urnen vor, die jeweils unterschiedliche Anteile roter und grüner Kugeln enthalten. Wir wählen eine Urne nach dem Zufallsprinzip (nach vorheriger Verteilung) und entnehmen dann eine Probe (ohne Ersatz) aus der ausgewählten Urne.

Beachten Sie, dass die von uns beobachteten Rottöne und Grüntöne NICHT unabhängig voneinander sind. Und es ist vielleicht keine Überraschung zu erfahren, dass die Reihenfolge der beobachteten Rot- und Grüntöne austauschbar ist. Was ist vielleicht überraschend ist , dass jede austauschbare Sequenz auf diese Weise vorstellen kann, für eine geeignete Wahl der Urnen und vor Verteilung. (siehe Diaconis / Freedman (1980) "Finite Exchangeable Sequences", Ann. Prob.).

Das Konzept wird an allen möglichen Orten verwendet und ist besonders in Bayes-Kontexten nützlich, da wir in diesen Situationen eine vorherige Verteilung (unser Wissen über die Verteilung der Urnen auf dem Tisch) und eine Wahrscheinlichkeit haben, herumzulaufen (ein Modell, das) stellt lose das Stichprobenverfahren von einer gegebenen, festen Urne dar). Wir beobachten die Reihenfolge der Rottöne und Grüntöne (die Daten) und verwenden diese Informationen, um unseren Glauben an die bestimmte Urne in unserer Hand (dh unseren hinteren) oder allgemeiner die Urnen auf dem Tisch zu aktualisieren.

Austauschbare Zufallsvariablen sind besonders wunderbar, denn wenn wir unendlich viele davon haben, haben wir Bände mathematischer Maschinerie zur Hand, von denen nicht zuletzt der Satz von de Finetti ist; Eine Einführung finden Sie in Wikipedia.