Eigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen

Mein Statistikkurs hat mir nur beigebracht, dass eine diskrete Zufallsvariable eine endliche Anzahl von Optionen hat ... das hatte ich nicht bemerkt. Ich hätte gedacht, wie eine Reihe von ganzen Zahlen könnte es unendlich sein. Das Googeln und Überprüfen mehrerer Webseiten, darunter einige aus Universitätskursen, hat dies nicht ausdrücklich bestätigt. Die meisten Websites sagen jedoch, dass diskrete Zufallsvariablen zählbar sind - ich nehme an, das bedeutet endlich nummeriert?

Es ist klar, dass kontinuierliche Zufallsvariablen unendlich sind, selbst wenn sie (meistens?) Oft begrenzt sind.

Aber wenn diskrete Zufallsvariablen endliche Möglichkeiten haben, was ist dann eine unendliche Verteilung von ganzen Zahlen? Es ist weder diskret noch kontinuierlich? Ist die Frage umstritten, weil Variablen entweder kontinuierlich und (per Definition) unendlich oder diskontinuierlich und endlich sind?

Wenn das Ihr Kurs gesagt hat, ist es falsch.

Diskrete Verteilungen können zwar eine begrenzte Anzahl möglicher Ergebnisse haben, müssen dies jedoch nicht. Sie können eine diskrete Verteilung haben, die unendlich viele mögliche Ergebnisse hat - die Anzahl der Elemente sollte nicht mehr als zählbar sein.

Ein häufiges Beispiel wäre eine geometrische Verteilung; Betrachten Sie die Anzahl der Würfe einer fairen Münze, bis Sie einen Kopf bekommen. Es gibt keine endliche Obergrenze für die Anzahl der Würfe, die möglicherweise benötigt werden. Es kann 1 Wurf oder 2 oder 3 oder 100 oder eine andere Zahl dauern.

Eine diskrete Verteilung kann negativ sein (berücksichtigen Sie den Unterschied zwischen zwei solchen geometrisch verteilten Zufallsvariablen; es kann sich um eine beliebige positive oder negative Ganzzahl handeln).

Eine diskrete Verteilung muss jedoch nicht über den ganzen Zahlen liegen, wie in meinem Beispiel. Das ist nur eine häufige Situation, keine Voraussetzung.

Ich schreibe eine Antwort mit der Perspektive, dass ich nur ein sehr naives Verständnis der messungstheoretischen Wahrscheinlichkeit habe (also, Experten, bitte korrigieren Sie mich!).

Eine (reelle) Zufallsvariable ist eine Funktion , wobei S ein Abtastraum ist.$X: S \to \mathbb{R}$$S$

ist diskret, wenn X ( S ) , dasdurch X induzierteBild von S , zählbar ist. X ist stetig, wenn$X$$X(S)$$S$$X$$X$$X$ eine absolut kontinuierliche CDF hat . (Ich weiß nicht so viel über absolut kontinuierliche Funktionen, daher kann ich auf diesen Punkt nicht näher eingehen.)

Allerdings sind nicht alle Zufallsvariablen nur diskret oder stetig. Es gibt "gemischte" Zufallsvariablen, wobei $X(s)$ eine CDF hat, die die Summe einer Schrittfunktion und einer stetigen Funktion mit Indikatoren ist.

Sie können auch Zufallsvariablen verwenden, die weder diskret noch kontinuierlich sind, z. B. die Cantor-Verteilung .

So zitieren Sie die Wikipedia-Seite zu kontinuierlichen und diskreten Variablen :

Wenn es [die Variable] zwei bestimmte reelle Werte annehmen kann, so dass es auch alle reellen Werte zwischen ihnen annehmen kann (auch Werte, die willkürlich nahe beieinander liegen), ist die Variable in diesem Intervall stetig

Daher muss eine diskrete Zufallsvariable keine "endliche Anzahl von Optionen" haben, aber es muss eine nicht infinitesimale Lücke zwischen den möglichen Werten bestehen. Dies ist bei einer Verteilung von ganzen Zahlen der Fall, da der 'Abstand' zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen 1 beträgt und nicht kleiner sein kann. Daher ist die Variable nicht stetig da sie innerhalb dieser Lücken nicht "fortgesetzt" wird.

Bearbeiten: Ich weiß, dass es wahrscheinlich bessere und / oder präzisere Möglichkeiten gibt, dies zu beantworten, aber dies hat mir persönlich geholfen, den Unterschied zu verstehen.