Verteilung von

Angenommen, (mit ) hat eine Dichte . Was können wir über die Verteilung von sagen $X \in \mathbb{R}^n$ $n > 1$ $f_X(x)$

Y = - \log f_{X} (X) ?

$Y = -\log f_X(X)?$

— Taylor
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Nun, das wird davon abhängen, was ist , nicht wahr?

f

$f$

— Jbowman

1. Es könnte interessant sein, zunächst die mgf (oder allgemeiner die cf) zu betrachten und zu sehen, was Sie daraus sagen können. Wenn Sie an asymptotischem Verhalten interessiert sind (im Allgemeinen n, insbesondere wenn es um Unabhängigkeit geht), sollten Sie alternativ überlegen, was über Asymptotik von ... 2. Ist dies für eine Übung?

- 2 \log L

$-2\log \mathcal{L}$

— Glen_b -State Monica

Es gibt ein ganzes Buch von Troutt et al. (1991) .

— Xi'an

Das von Xi'an erwähnte Buch stammt aus dem Jahr 2004. Es bezieht sich auf einen Artikel aus dem Jahr 1991, in dem der folgende Satz erscheint.

Aus: Troutt MD 1991 Ein Satz über die Dichte der Dichtordinate und eine alternative Interpretation der Box-Muller-Methode

Wenn eine Zufallsvariable X eine Dichte , , und wenn die Zufallsvariable eine Dichte , dann ist wobei das Lebesgue-Maß der Menge $f(x)$ $x \in \mathbb{R}^n$ $v = f(x)$ $g(v)$
$g (v) = - v A^{'} (v),$ $g(v) = -vA^\prime(v),$ $A(v)$ $S (v) = {x : f (x) \geq v}$ $S(v) = \lbrace x: f(x) \geq v \rbrace$

Intuitiv und nicht formal:

\begin{matrix} f_{Z} (z) d z = P (z < Z < z + d z) & = P (x (z) < X < x (z + d z)) \\ = P (x (z) < X < x (z) + d z \frac{d x}{d z}) \\ = f_{X} (X) \frac{d x}{d z} d z = z \frac{- d A (z)}{d z} d z \end{matrix}

$\begin{array}\\ f_Z(z) dz = P(z<Z<z+dz) &= P(x(z)<X<x(z+dz)) \\ &= P(x(z)<X<x(z)+dz \frac{dx}{dz}) \\ &= f_X(X) \frac{dx}{dz} dz = z \frac{-dA(z)}{dz} dz \end{array}$

In ähnlicher Weise gilt: Wenn wir eine transformierte Variable Folgendes: $Y = g(f_x(x))$

\begin{matrix} f_{Y} (y) d y = P (y < Y < y + d y) & = P (x (y) < X < x (y + d y)) \\ = P (x (y) < X < x (y) + d y \frac{d x}{d y}) \\ = f_{X} (X) \frac{d x}{d y} d y = g^{- 1} (y) \frac{- d A (y)}{d y} d y \end{matrix}

$\begin{array}\\ f_Y(y) dy = P(y<Y<y+dy) &= P(x(y)<X<x(y+dy)) \\ &= P(x(y)<X<x(y)+dy \frac{dx}{dy}) \\ &= f_X(X) \frac{dx}{dy} dy = g^{-1}(y) \frac{-dA(y)}{dy} dy \end{array}$

Damit

f_{Y} (y) = - e^{- y} \frac{A (y)}{d y}

$f_Y(y) = -e^{-y} \frac{A(y)}{dy}$

Beispiel Standard Normalverteilung:

f_{X} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- 0.5 x^{2}}

$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-0.5 x^2}$

y = \log (\sqrt{2 π}) + 0.5 x^{2}

$y = \log(\sqrt{2\pi}) + 0.5 x^2$

A (y) = C - \sqrt{8 (y - \log (\sqrt{2 π}))}

$A(y) = C-\sqrt{8(y-\log(\sqrt{2\pi}))}$

somit

f_{Y} (y) = \frac{\sqrt{2} e^{- y}}{\sqrt{y - \frac{\log (2 π)}{2}}}

$f_Y(y) = \frac{\sqrt{2} e^{-y}}{\sqrt{y-\frac{\log(2\pi)}{2}}}$

Beispiel eine multivariate Normalverteilung:

f_{X} (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{2 π} e^{- 0.5 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}

$f_X(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi} e^{-0.5 (x_1^2 + x_2^2)}$

y = \log (2 π) + 0.5 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})

$y = \log(2\pi) + 0.5 (x_1^2+x_2^2)$

A (y) = C - 2 π (y - \log (2 π))

$A(y) = C-2\pi(y-\log(2\pi))$

somit

f_{Y} (y) = 2 π e^{- y} for y \geq l o g (2 π)

$f_Y(y) = 2\pi e^{-y} \qquad \qquad \text{for $y \geq log(2\pi)$}$

Rechenprüfung:

# random draws/simulation
x_1 = rnorm(100000,0,1)
x_2 = rnorm(100000,0,1)
y = -log(dnorm(x_1,0,1)*dnorm(x_2,0,1))

# display simulation along with theoretic curve
hist(y,breaks=c(0,log(2*pi)+c(0:(max(y+1)*5))/5),
     main = "computational check for distribution f_Y")
y_t <- seq(1,10,0.01)
lines(y_t,2*pi*exp(-y_t),col=2)

— Sextus Empiricus
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Die Schwierigkeit bei dieser Perspektive ist , dass die Transformations abhängt , im Gegensatz zu (in der Dimension Eins).

f_{X} (X)

$f_X(X)$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Xi'an