Binomialverteilung, bei der die Anzahl der Experimente binomial verteilt ist

In meinem Setup

es gibt $m$ Versuche.
Jeder Versuch hat eine Wahrscheinlichkeit $q$ ausgewählt zu werden.
$N \leq m$ ist die Anzahl der ausgewählten Versuche

$\to N \sim Bin (q, m)$ $\rightarrow N \sim \text{Bin}(q, m)$
Für jeden der $N$ Ausgewählte Studien ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$
$K\leq N$ ist die Anzahl der erfolgreichen Versuche
$\to (K | N) \sim Bin (p, N)$ $\rightarrow (K|N) \sim \text{Bin}(p, N)$

Ich habe bereits abgeleitet $E[K] = qmp$ , und $Var(K)= qmp(1-p) + p^2 m q(1-q)$

Ich stecke jedoch in der Ableitung von fest $cov(K, N)$ . Ich würde mich über jede Hilfe zur Lösung dieses Problems freuen.

binomial random-variable covariance

— Pierre Cattin
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Unter Verwendung des Gesetzes der gesamten Kovarianz ,

\begin{aligned} Cov (K, N) & = E Cov (K, N | N) + Cov (E K | N, E N | N) \\ = E 0 + Cov (p N, N) \\ = 0 + p Var (N) \\ = p m q (1 - q) . \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(K,N) &=E\operatorname{Cov}(K,N|N)+\operatorname{Cov}(EK|N,EN|N) \\&=E 0+\operatorname{Cov}(pN,N) \\&=0+p\operatorname{Var}(N) \\&=pmq(1-q). \end{align}$

— Jarle Tufto
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