Werden Wahrscheinlichkeiten bei der Funktionstransformation beibehalten?

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Ich denke, das ist ein bisschen grundlegend, aber sagen wir, ich habe eine Zufallsvariable $X$ , ist die Wahrscheinlichkeitdie gleiche wiefür jede reelle stetige Funktion? $P(X \leq a)$ $P(f(X) \leq f(a))$ $f$

probability distributions

— Link L
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Außerdem: Im Allgemeinen .

σ_{f (x)}^{2} \neq f (σ_{x}^{2})

$\sigma^{2}_{f(x)} \ne f\left(\sigma^{2}_{x}\right)$

— Alexis

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Dies gilt nur, wenn $f$ monoton ansteigt. Wenn $f$ monoton abnimmt, ist $P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$ . Wenn zum Beispiel $f(x) = -x$ und X ein normaler Würfelwurf ist, dann ist $P(X \leq 5) = \frac56$ aber . Wennzwischen Erhöhen und Verringern umschaltet, ist es noch komplizierter. $P(-X \leq -5) = \frac16$ $f$

Hinweis : Es gibt auch den trivialen Fall von , wobei gleich 1 ist, wenn und 0 sonst. $f(x) \equiv 0$ $P(f(X) \leq a)$ $a \geq 0$

— Akkumulation
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+1 Ich hätte den injizierenden Fall hinzufügen sollen, wenn dies zutrifft.

— Stéphane Laurent

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Nr. Nehmen Sie Uniform auf und . Dann . Andererseits ist . $X$ $[-1,1]$ $a=0$ $\Pr(X < a ) = 1/2$ $\Pr(X^2<a^2) = 0$

— Stéphane Laurent
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2

Dies hängt mit der Frage zusammen:

ist für jedes ? $X \leq a$ $f(X) \leq f(a)$

Es kann viele Möglichkeiten geben, zu verletzen, während . In allen Fällen muss jedoch eine nicht monotone Funktion sein. $f(X) \leq f(a)$ $X \leq a$ $f$

— Sextus Empiricus
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