Begrenzende Summe der iid Gamma-Variationen


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Sei X1,X2, eine Folge von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion;

f(x)={12x2exif x>0;0otherwise.
Zeigen Sie, dass
limnP[X1+X2++Xn3(nn)]12

Was ich versucht habe

Auf den ersten Blick dachte ich, es sollte Chebyshevs Ungleichung verwenden, da die Frage eine Untergrenze . Ich dachte jedoch über das Grenzwertzeichen nach, das eindeutig anzeigt, dass das Problem in irgendeiner Weise mit dem zentralen Grenzwertsatz (CLT) zusammenhängen kann. X1+X2++Xn

Sei E ( S n ) = n i = 0 E ( X i ) = 3 n ( da  E ( X i ) = 3 )Sn=X1+X2++Xn

E(Sn)=i=0nE(Xi)=3n (since E(Xi)=3)V(Sn)=i=0nV(Xi)=3n (since V(Xi)=3 and Xi are i.i.d)

Verwenden Sie jetzt CLT für großes , X 1 + X 2 + . . . . . . . . + X nN ( 3 n , 3 n ) Oder z = S n - 3 nnX1+X2+........+XnN(3n,3n)

z=Sn3n3nN(0,1) as n

Nun ist

limnP[X1+X2+........+Xn3(nn)]=limnP(Sn3n3n)=limnP(Sn3n3n3)=P(z3)=P(3z<0)+P(z0)=P(3z<0)+12(1)

Da , also aus(1), lim n P[X1+X2+. . . . . . . . +Xn3(n-P(3z<0)0(1)

limnP[X1+X2+........+Xn3(nn)]12

Hab ich recht?


1
CLT scheint einen vernünftigen Ansatz , aber " "macht keinen Sinn ..limnP[X1+X2+........+Xn3(nn)]=P(Sn3n3n)
P. Windridge

Ich denke, es sollte
limnP[X1+X2+........+Xn3(nn)]=limnP(Sn3n3n)=limnP(Sn3n3n3)=P(z3)

6
XiΓ(3,1)X1+X2++XnΓ(3n,1)nΓ(3n,1)3n133n3(nn)<3n133(nn)

Antworten:


3

n

Xiμiσi2.Ynn

Yn=i=1nXi.

Yn

mn=i=1nμn

und seine Varianz ist

sn2=Var(Yn)=i=1nVar(Xi)+2j>iCov(Xi,Xj)=i=1nσi2.

Suppose sn2 grows at most linearly with n: that is, there exists a number λ>0 such that for all sufficiently large n, sn2λ2n. Let k>0 (yet to be determined), observe that

mknmkλsn,

and apply Chebyshev's Inequality to Yn to obtain

Pr(Ynmnkn)Pr(Ynmnkλsn)Pr(|Ynmn|kλsn)1λ2k2.

The first two inequalities are basic: they follow because each successive event is a subset of the preceding one.


In the case at hand, where Xi are independent (and therefore uncorrelated) with means μi=3 and variances σi2=3, we have mn=3n and

sn=3n,

whence we may take λ as small as 3. The event in the question 3(nn)=μn3n corresponds to k=3, where

Pr(Yn3n3n)13 232=23>12,

QED.

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