Wird die Theorie der unverzerrten Schätzung der minimalen Varianz in der Graduiertenschule überbewertet?

Kürzlich war ich sehr verlegen, als ich die Antwort auf die unparteiischen Schätzungen der minimalen Varianz für Parameter einer gleichmäßigen Verteilung abgab, die völlig falsch waren. Glücklicherweise wurde ich sofort von Kardinal und Henry korrigiert, wobei Henry die richtigen Antworten für das OP lieferte .

Das hat mich allerdings zum Nachdenken gebracht. Die Theorie der besten unverzerrten Schätzer habe ich vor 37 Jahren in meinem Mathematikkurs in Stanford gelernt. Ich habe Erinnerungen an den Rao-Blackwell-Satz, die Cramer-Rao-Untergrenze und den Lehmann-Scheffe-Satz. Aber als angewandter Statistiker denke ich nicht sehr viel über UMVUEs in meinem täglichen Leben nach, während die maximale Wahrscheinlichkeitsschätzung sehr hoch ist.

Warum das? Überbewerten wir die UMVUE-Theorie in der Graduiertenschule zu sehr? Ich glaube schon. Vor allem ist Unparteilichkeit keine entscheidende Eigenschaft. Viele perfekt gute MLEs sind voreingenommen. Stein-Schrumpfungsschätzer sind voreingenommen, dominieren jedoch den unverzerrten MLE in Bezug auf den mittleren quadratischen Fehlerverlust. Es ist eine sehr schöne Theorie (UMVUE-Schätzung), aber sehr unvollständig und ich denke nicht sehr nützlich. Was denken andere?

Wir wissen das

Wenn eine Zufallsstichprobe aus dann ist für jedes ist eine UE von$X_1,X_2, \dots X_n$$Poisson(\lambda)$$\alpha \in (0,1),~T_\alpha =\alpha \bar X+(1-\alpha)S^2$$\lambda$

Daher gibt es unendlich viele UEs von . Nun stellt sich die Frage, welche davon wir wählen sollen. also nennen wir UMVUE. Unparteilichkeit ist kein gutes Gut, aber UMVUE ist ein gutes Gut. Aber es ist nicht sehr gut.$\lambda$

Wenn eine Zufallsstichprobe aus dann ist der minimale MSE-Schätzer der Form mit für den Parameter ist Aber es ist voreingenommen, dass es nicht UMVUE ist, obwohl es in Bezug auf die minimale MSE am besten ist.$X_1,X_2, \dots X_n$$N(\mu, \sigma^2)$$T_\alpha =\alpha S^2$$(n-1)S^2=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$$\sigma^2$$\frac{n-1}{n+1}S^2=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2$

Es ist zu beachten, dass das Rao-Blackwell-Theorem besagt, dass wir uns zum Auffinden von UMVUE nur auf diejenigen UE konzentrieren können, die eine ausreichende Statistik haben , dh UMVUE ist der Schätzer mit der geringsten Varianz unter allen UEs, die eine ausreichende Statistik haben. Daher ist UMVUE notwendigerweise eine Funktion einer ausreichenden Statistik.

MLE und UMVUE sind beide aus Sicht gut. Aber wir können niemals sagen, dass einer von ihnen besser ist als der andere. In der Statistik beschäftigen wir uns mit unsicheren und zufälligen Daten. Es gibt also immer Verbesserungspotential. Möglicherweise erhalten wir einen besseren Schätzer als MLE und UMVUE.

Ich denke, wir werden die UMVUE-Theorie in der Graduiertenschule nicht zu sehr betonen. Das ist nur meine persönliche Ansicht. Ich denke, die Abschlussphase ist eine Lernphase. Ein Doktorand muss also eine gute Grundlage für UMVUE und andere Schätzer haben.

Vielleicht kann das Papier von Brad Efron "Maximum Likelihood and Decision Theory" helfen, dies zu klären. Brad erwähnte, dass eine der Hauptschwierigkeiten bei UMVUE darin besteht, dass es im Allgemeinen schwer zu berechnen ist und in vielen Fällen nicht existiert.