Warum ?

15

ich vermute das

P (A | B) = P (A | B, C) * P (C) + P (A | B, \neg C) * P (\neg C)

$P(A|B) = P(A | B,C) * P(C) + P(A|B,\neg C) * P(\neg C)$

ist richtig, wohingegen

P (A | B) = P (A | B, C) + P (A | B, \neg C)

$P(A|B) = P(A | B,C) + P(A|B,\neg C)$

ist falsch.

Ich habe jedoch eine "Intuition" für die spätere, dh Sie berücksichtigen die Wahrscheinlichkeit P (A | B), indem Sie zwei Fälle (C oder Not C) aufteilen. Warum ist diese Intuition falsch?

probability bayesian

— zell
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4

Hier ist ein einfaches Beispiel, um Ihre Gleichungen zu testen. Wirf zwei unabhängige, faire Münzen. Sei das Ereignis, bei dem der erste Kopf hochkommt, das Ereignis, bei dem der zweite Kopf hochkommt, und das Ereignis, bei dem beide Köpfe hochkommen. Ist eine der Gleichungen, die Sie geschrieben haben, korrekt?

A

$A$

B

$B$

C

$C$

— A. Rex

4

Das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit besagt, dass Sie, wenn Sie eine unbedingte Wahrscheinlichkeit als Summe bedingter Wahrscheinlichkeiten ausdrücken möchten, nach dem Konditionierungsereignis gewichten müssen: zB

P (A) = P (A | B) P (B) + P (A | \bar{B}) P (\bar{B})

$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\bar{B})P(\bar{B})$

— AdamO

25

Angenommen, als einfaches Gegenbeispiel, dass die Wahrscheinlichkeit von ist , und zwar unabhängig von dem Wert von . Wenn wir dann die falsche Gleichung nehmen , erhalten wir: $P(A)$ $A$ $1$ $C$

$P(A | B) = P(A | B, C) + P(A | B, \neg C) = 1 + 1 = 2$

Das kann natürlich nicht richtig sein, ein kann wahrscheinlich nicht größer als . Dies hilft dabei, die Intuition zu entwickeln, dass Sie jedem der beiden Fälle eine Gewichtung zuweisen sollten, die proportional zu der Wahrscheinlichkeit dieses Falls ist ~~, was zur ersten (richtigen) Gleichung führt.~~ . $1$

Das bringt Sie Ihrer ersten Gleichung näher, aber die Gewichte stimmen nicht ganz. Siehe A. Rex 'Kommentar für die korrekten Gewichte.

— Dennis Soemers
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1

Sollten die Gewichte in der "ersten (richtigen) Gleichung" und , oder sollten sie und ?

P (C)

$P(C)$

P (\neg C)

$P(\neg C)$

P (C ∣ B)

$P(C\mid B)$

P (\neg C ∣ B)

$P(\neg C\mid B)$

— A. Rex

@ A.Rex Das ist ein guter Punkt, für die volle Richtigkeit denke ich, sollte es und . Alles (nur ein einziger Term) auf der linken Seite der Gleichung setzt voraus, dass gegeben ist. Ohne zusätzliche Annahmen (wie die Annahme, dass und unabhängig voneinander sind) sollte rechts dasselbe gelten -hand Seite

P (C | B)

$P(C | B)$

P (\neg C | B)

$P(\neg C | B)$

B

$B$

B

$B$

C

$C$

— Dennis Soemers

Stellen Sie sich vor, A | B würde mit 200% Sicherheit passieren.

— Mark L. Stone

@ MarkL.Stone Heißt das, es passiert immer zweimal? ;)

— Setzen Sie Monica am

9

Dennis 'Antwort ist ein gutes Gegenbeispiel, das die falsche Gleichung widerlegt. Diese Antwort versucht zu erklären, warum die folgende Gleichung richtig ist:

P (A | B) = P (A | C, B) P (C | B) + P (A | \neg C, B) P (\neg C | B) .

$P(A|B) = P(A|C,B) P(C|B) + P(A|\neg C,B) P(\neg C|B).$

Da jeder Term von abhängig ist , können wir den gesamten Wahrscheinlichkeitsraum durch ersetzen und den Term fallen lassen. Das gibt uns: $B$ $B$ $B$

P (A) = P (A | C) P (C) + P (A | \neg C) P (\neg C) .

$P(A) = P(A|C) P(C) + P(A|\neg C) P(\neg C).$

Dann fragen Sie sich, warum diese Gleichung die Terme und . $P(C)$ $P(\neg C)$

Der Grund ist, dass der Teil von in und der Teil von in und sich die beiden zu addieren . Siehe Zeichnung. Andererseits ist der Anteil von , der und $P(A|C) P(C)$ $A$ $C$ $P(A|\neg C) P(\neg C)$ $A$ $\neg C$ $A$ $P(A|C)$ $C$ $A$ ist der Anteil von , der - dies sind Anteile verschiedener Regionen, so dass sie keine gemeinsamen Nenner haben, so dass ihre Addition bedeutungslos ist. $P(A|\neg C)$ $\neg C$ $A$

— Setzen Sie Monica wieder ein
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2

Nicht "alles hängt von

". Insbesondere sind

und

nicht, so dass Sie

nicht einfach fallen lassen können . Außerdem könnte dies darauf hindeuten, dass die Gleichung falsch ist!

B

$B$

P (C)

$P(C)$

P (\neg C)

$P(\neg C)$

B

$B$

— A. Rex

@ A.Rex Technisch gesehen hast du recht, ich hätte sagen sollen, dass jeder Term, der

einbezieht , von

abhängt (ich habe eine einfache Substitution

). Ich werde die Antwort korrigieren.

A

$A$

B

$B$

A | B \to A

$A|B \rightarrow A$

— Setzen Sie Monica am

5

Mein Einwand war keine technische Angelegenheit. Das Diagramm zeigt , richtig , dass

, die nach der Konditionierung auf

werden

P (A) = P (A ∣ C) P (C) + P (A ∣ \neg C) P (\neg C)

$P(A) = P(A\mid C) P(C) + P(A\mid\neg C) P(\neg C)$

B

$B$

; beachte, dass die Wahrscheinlichkeiten von

und

auch von

abhängig sind. Dies ist nicht die erste im OP angegebene Gleichung, was eine gute Nachricht ist, da die erste im OP angegebene Gleichung nicht korrekt ist.

P (A ∣ B) = P (A ∣ B, C) P (C ∣ B) + P (A ∣ B, \neg C) P (\neg C ∣ B)

$P(A\mid B) = P(A\mid B,C) P(C\mid B) + P(A\mid B,\neg C) P(\neg C\mid B)$

C

$C$

\neg C

$\neg C$

B

$B$

— A. Rex

@ A.Rex Sie haben wieder Recht,

muss auch von

abhängig gemacht werden, da der Anteil des in

enthaltenen Wahrscheinlichkeitsraums möglicherweise nicht mit dem in

enthaltenen Anteil von

übereinstimmt . Dieser Punkt ist mir entgangen. Ich werde noch einmal überarbeiten.

C

$C$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

C

$C$

— Setzen Sie Monica am

7

Ich weiß, dass Sie bereits zwei großartige Antworten auf Ihre Frage erhalten haben, aber ich wollte nur darauf hinweisen, wie Sie die Idee hinter Ihrer Intuition in die richtige Gleichung umwandeln können.

Denken Sie zunächst daran, dass und äquivalent. $P(X \mid Y) = \dfrac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$ $P(X \cap Y) = P(X \mid Y)P(Y)$

Um Fehler zu vermeiden, werden wir die erste Gleichung im vorherigen Absatz verwenden, um alle bedingten Wahrscheinlichkeiten zu eliminieren, dann Ausdrücke, die Überschneidungen und Vereinigungen von Ereignissen beinhalten, weiter umschreiben und dann die Bedingungen am Ende mit der zweiten Gleichung im vorherigen Absatz wieder einführen . Wir beginnen also mit:

P (EIN ∣ B) = \frac{P (EIN \cap B)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Wir werden die rechte Seite so lange umschreiben, bis wir die gewünschte Gleichung erhalten.

Die Fallarbeit in Ihrer Intuition erweitert das Ereignis zu , was zu $A$ $(A \cap C) \cup (A \cap \neg C)$

P (EIN ∣ B) = \frac{P (((EIN \cap C) \cup (EIN \cap \neg C)) \cap B)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P(B)}$

Wie bei den Sätzen, wobei der Schnitt vertreibt über die Union:

P (EIN ∣ B) = \frac{P ((EIN \cap B \cap C) \cup (EIN \cap B \cap \neg C))}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P(B)}$

Da sich die beiden Ereignisse im Zähler gegenseitig ausschließen (da und nicht beide auftreten können), können wir die Summenregel verwenden: $C$ $\neg C$

P (EIN ∣ B) = \frac{P (EIN \cap B \cap C)}{P (B)} + \frac{P (EIN \cap B \cap \neg C)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \cap B \cap \neg C)}{P(B)}$

$P(A \mid B) = P(A \cap C \mid B) + P(A \cap \neg C \mid B)$

P (A \cap (B \cap C)) = P (EIN ∣ B \cap C) P (B \cap C)

$P(A \cap (B \cap C)) = P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)$

\neg C

$\neg C$

$P(A \mid B)$

P (EIN ∣ B) = \frac{P (EIN ∣ B \cap C) P (B \cap C)}{P (B)} + \frac{P (EIN ∣ B \cap \neg C) P (B \cap \neg C)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \mid B \cap \neg C)P(B \cap \neg C)}{P(B)}$

$\dfrac{P(B \cap C)}{P(B)} = P(C \mid B)$ $\neg C$

P (EIN ∣ B) = P (EIN ∣ B \cap C) P (C ∣ B) + P (EIN ∣ B \cap \neg C) P (\neg C ∣ B)

$P(A \mid B) = P(A \mid B \cap C)P(C \mid B) + P(A \mid B \cap \neg C)P(\neg C \mid B)$

Welches ist die richtige Gleichung (wenn auch mit leicht unterschiedlicher Notation), einschließlich der Fix A. Rex darauf hingewiesen.

$P(A \cap C \mid B)$ $P(A \mid B \cap C)P(C \mid B)$ $P(A \cap C) = P(A \mid C)P(C)$ $B$ $P(A \cap C)$ $P(A \mid C)$ $P(C)$

— YawarRaza7349
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2

P (A ∣ B) = P (A \cap C ∣ B) + P (A \cap \neg C ∣ B)

$P(A\mid B)=P(A\cap C\mid B)+P(A\cap\neg C\mid B)$

Vielen Dank! Das war der Hauptpunkt, den ich ansprechen wollte, aber ich konnte keine allgemeine Erklärung dafür finden, warum der Schnittpunkt eher links als rechts verläuft. Deshalb habe ich stattdessen Formeln verwendet. Außerdem habe ich gerade bemerkt, dass Sie derjenige waren, der auf den Fehler in der OP-Formel hingewiesen hat, also habe ich Ihnen das gutgeschrieben. (Ich hätte es wahrscheinlich auch nicht bemerkt, lol.)

— YawarRaza7349

2

$P(\text{rain|March})$

\begin{aligned} P (Regen oder Schnee März) & = \frac{(Anzahl der Regen- oder Schneetage im März)}{(Gesamtzahl der Tage im März)} \\ = \frac{(Anzahl der Regentage im März)}{(Gesamtzahl der Tage im März)} + \\ \frac{(Anzahl der Schneetage im März)}{(Gesamtzahl der Tage im März)} \\ = P (Regen März) + P (Schnee März) \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{rain or snow|March}) &= \frac{(\text{number of rainy or snowy days in March})}{(\text{total number of days in March})} \\[7pt] &= \frac{(\text{number of rainy days in March})}{(\text{total number of days in March)}} + \\[4pt] &\qquad \frac{\text{(number of snowy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} \\[7pt] &= P(\text{rain|March})+P(\text{snow|March}) \end{align}$

$P(\text{rain|February or March})$

\frac{(Anzahl der Regentage im Februar und März)}{(Gesamtzahl der Tage im Februar und März)} .

$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March})}.$

Das ist aber nicht gleich

\frac{(Anzahl der Regentage im Februar)}{(Gesamtzahl der Tage im Februar)} + \frac{(Anzahl Regentage im März)}{(Gesamtzahl der Tage im März)} .

$\frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February})} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}}.$

Wenn Sie Probleme haben, das zu sehen, können Sie einige Zahlen ausprobieren. Angenommen, es gibt 10 Regentage im Februar und 8 im März. Dann haben wir

\frac{(Anzahl der Regentage im Februar und März)}{(Gesamtzahl der Tage im Februar und März)} = (10 + 8) / (28 + 31) = 29.5 %

$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March)}} = (10+8)/(28+31) = 29.5\%$

und

\begin{aligned} \frac{(Anzahl der Regentage im Februar)}{(Gesamtzahl der Tage im Februar)} + \frac{(Anzahl Regentage im März)}{(Gesamtzahl der Tage im März)} & = (10 / 28) + (8 / 31) \\ = 35.7 % + 25.8 % \\ = 61,5 % \end{aligned}

$\begin{align} \frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February)}} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} &= (10/28)+(8/31) \\ &= 35.7\% + 25.8\% \\ &= 61.5\% \end{align}$

$P(A|B)=P(A|B,C)+P(A|B,¬C)$ $\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} = \frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}$

— Akkumulation
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1

P (s u n b u r n t | S p ein ich n) = 0,2

$P(sunburnt | Spain)=0.2$

P (s u n b u r n t | \neg S p ein ich n) = 0,1

$P(sunburnt|\neg Spain)=0.1$

P (s u n b u r n t) = 0,2

$P(sunburnt)=0.2$

B = Ω

$B=\Omega$

P (B) = 1

$P(B)=1$

P (EIN) = P (EIN | C) + P (EIN | \neg C)

$P(A)=P(A|C)+P(A|\neg C)$

— Sheriff
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