Technischer Punkt zur Konvergenz mit der bedingten Erwartung

Ich habe eine Folge von nicht negativen Variablen wie: $X_n$

E (X_{n} | C_{n}) = \frac{C_{n}}{n^{2}}

$E(X_n|C_n)=\frac{C_n}{n^2}$

Dabei ist $C_n$ eine Folge von Zufallsvariablen, die fast sicher gegen konvergieren $1$ .

Kann ich schließen, dass $X_n$ fast sicher gegen 0 tendiert?

Hinweis: Sie können $\frac{1}{n^2}$ durch eine beliebige Sequenz mit endlicher Summe ersetzen . Die Frage bleibt im Wesentlichen dieselbe und die Antwort von Jason funktioniert genauso (siehe das Argument von Borel-Cantelli).

probability convergence conditional-expectation

— Benoit Sanchez
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Ja, $X_{n} \to 0$ fast sicher. Das Argument, das ich habe, ist ein wenig verworren, also nimm es mit.

Betrachten Sie zunächst die Ereignisse . Durch die fast sichere Konvergenz von folgt, dass , und da , haben wir . Es genügt also zu zeigen, dass wie innerhalb von für jedes . $F_{k} = \bigcup_{n \geq k} \{ C_{n} > 2 \}$ $C_{n}$ $P( \bigcap_{k} F_{k} ) = 0$ $F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots$ $P(F_{k}) \to 0$ $X_{n} \to 0$ $F_{k}^{c}$ $k$

Korrigieren Sie nun ein und ein . Unter Verwendung der Notation um darzustellen , haben wir für Dies ist eine Art Schlüsselteil. (Beachten Sie auch, dass wir im ersten Schritt die Nicht- von , um von zum größeren Ereignis .) Von hier aus benötigen wir nur einige ziemlich gewöhnliche theoretische Argumente. $k$ $\varepsilon > 0$ $E[X; A]$ $E[X 1_{A}]$ $n \geq k$

E [X_{n}; F_{k}^{c}] \leq E [X_{n}; C_{n} \leq 2] = E [E (X_{n} | C_{n}); C_{n} \leq 2] = E [C_{n} / n^{2}; C_{n} \leq 2] \leq 2 / n^{2} .

$\begin{equation} E[X_{n} ; F_{k}^{c}] \leq E[X_{n} ; C_{n} \leq 2] = E[ E(X_{n} | C_{n}) ; C_{n} \leq 2] = E[ C_{n} / n^{2} ; C_{n} \leq 2 ] \leq 2 / n^{2}. \end{equation}$

X_{n}

$X_{n}$

F_{k}^{c}

$F_{k}^{c}$

C_{n} \leq 2

$C_{n} \leq 2$

Die obige Grenze impliziert zusammen mit der Nicht- von , dass (für ), so dass $X_{n}$ $P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) \leq \frac{2}{n^{2} \varepsilon}$ $n \geq k$

\sum_{n \geq k} P (F_{k}^{c} \cap {X_{n} > ε}) < \infty .

$\begin{equation} \sum_{n \geq k} P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) < \infty. \end{equation}$

Durch das Borel-Cantelli-Lemma können wir nun sagen, dass das Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit Null. Da willkürlich war, bringt uns dies wie bei .

F_{k}^{c} \cap {X_{n} > ε for infinitely many n}

$\begin{equation} F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \, \text{for infinitely many $n$} \} \end{equation}$

ε

$\varepsilon$

X_{n} \to 0

$X_{n} \to 0$

F_{k}^{c}

$F_{k}^{c}$

— Jason
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Dies könnte geringfügig geändert werden, um zu zeigen, dass es für jeden Exponenten auf so dass , , mir scheint.

α

$\alpha$

n

$n$

α > 1

$\alpha > 1$

X_{n} \to 0 a.s.

$X_n \to 0 \space \text{a.s.}$

— Jbowman

Vielen Dank. Mit meinen Sie oder ?

E (X; A)

$E(X;A)$

E (X | A)

$E(X|A)$

E (X 1_{A})

$E(X1_A)$

— Benoit Sanchez

Du meinst :-) Vielleicht solltest du es erwähnen. Alles scheint mir richtig zu sein, großartig! Ehrlich gesagt glaube ich nicht, dass es einen einfacheren Beweis gibt.

E (X 1_{A})

$E(X1_A)$

— Benoit Sanchez

Richtig, Benoit, ich meinte . Ich werde eine Änderung vornehmen, um das zu verdeutlichen.

E (X 1_{A})

$E(X 1_{A})$

— Jason

Setze . Dann ist und . Durch Markovs Ungleichung ist die eine endliche Summe hat, also durch Borel Cantelli, und fast sicher. $Z_n=X_n/C_n$ $E[Z_n]=1/n^2$ $Z_n\ge 0$ $P(Z_n>\epsilon)\le E[Z_n]/\epsilon = 1/(n^2\epsilon)$ $P(Z_n>\epsilon \text{ infinitely often})=0$ $Z_n\to 0$

Wenn fast sicher und fast sicher ist, dann ist fast sicher. $Z_n\to0$ $C_n\to 1$ $X_n=Z_nC_n\to 0$

— jlewk
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