Gilt das Prinzip der Gleichgültigkeit für das Borel-Kolmogorov-Paradoxon?

Betrachten Sie Jaynes 'Lösung des Bertrand-Paradoxons nach dem Prinzip der Gleichgültigkeit . Warum trifft ein ähnliches Argument auf das Borel-Kolmogorov-Paradoxon nicht zu ?

Ist etwas falsch daran zu argumentieren, dass das Drehen der Kugel die resultierende Verteilung, die durch den gewählten Begrenzungsprozess erreicht wird, nicht beeinflussen sollte, da das Problem keine Ausrichtung für die Kugel angibt?

theory paradox

— Neil G
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Da dies ein nicht mathematisches Argument ist, können Sie es immer verwenden! Und auch immer jemanden finden, der dagegen argumentiert ...!

— Xi'an

Auch ich halte Jaynes Argument nicht für den Abschluss der Debatte über das Bertrand-Paradoxon: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, Linien zufällig physisch zu zeichnen, wie in meinem Beitrag erörtert .

— Xi'an

Haben Sie bemerkt, wie dieser Wikipedia-Artikel Jaynes über das BK-Paradox zitiert? "... der Begriff 'großer Kreis' ist mehrdeutig, bis wir spezifizieren, welche Begrenzungsoperation ihn erzeugen soll. Das Argument der intuitiven Symmetrie setzt die äquatoriale Grenze voraus; dennoch könnte eine Orangenscheibe die andere voraussetzen." Mir scheint, das beantwortet Ihre Frage.

— Whuber

@whuber: Ich habe das so verstanden, dass der Fragesteller den einschränkenden Prozess spezifizieren musste. Ich hätte nicht gedacht, dass dies bedeutet, dass das Prinzip der Gleichgültigkeit verwendet werden könnte, um eine eindeutige Wahl im Begrenzungsprozess zu erzwingen. Sehen Sie die Aussage so?

— Neil G

@whuber: Lol :) Okay, ich versuche immer noch, es zu verstehen. Jaynes schreibt, dass das Maximum-Entropie-Prinzip und Jeffreys 'Priors eine Erweiterung des Grundsatzes der Gleichgültigkeit sind, und diese überzeugen mich ziemlich. Hier scheint also etwas Interessantes zu sein.

— Neil G

Antworten:

Einerseits haben wir ein vortheoretisches, intuitives Verständnis der Wahrscheinlichkeit. Andererseits haben wir Kolomogorovs formale Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeit.

Das Prinzip der Gleichgültigkeit gehört zu unserem intuitiven Verständnis von Wahrscheinlichkeit. Wir sind der Meinung, dass jede Formalisierung der Wahrscheinlichkeit dies respektieren sollte. Wie Sie jedoch bemerken, tut dies unsere formale Wahrscheinlichkeitstheorie nicht immer, und das Borel-Komogorov-Paradoxon ist einer der Fälle, in denen dies nicht der Fall ist.

Ich denke also, Sie fragen sich wirklich: Wie lösen wir den Konflikt zwischen diesem attraktiven intuitiven Prinzip und unserer modernen maßtheoretischen Wahrscheinlichkeitstheorie?

Man könnte auf der Seite unserer formalen Theorie stehen, so wie es die andere Antwort und die Kommentatoren tun. Sie behaupten, dass, wenn Sie die Grenze zum Äquator im Borel-Kolmogorov-Paradoxon auf eine bestimmte Weise wählen, das Prinzip der Gleichgültigkeit nicht gilt und unsere Intuitionen falsch sind.

Ich finde das unbefriedigend. Ich glaube, wenn unsere formale Theorie diese grundlegende und offensichtlich wahre Intuition nicht erfasst, dann ist sie mangelhaft. Wir sollten versuchen, die Theorie zu modifizieren, und dieses Grundprinzip nicht ablehnen.

Alan Hájek, ein Philosoph der Wahrscheinlichkeit, hat diese Position eingenommen und er argumentiert in diesem Artikel überzeugend dafür . Ein längerer Artikel von ihm über die bedingte Wahrscheinlichkeit gefunden werden kann hier , wo er behandelt auch einige klassische Probleme wie die beiden Umschläge Paradox.

— Kartoffel
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Ich sehe den Sinn des "Grundsatzes der Gleichgültigkeit" nicht. Die Antwort des Wikipedia-Artikels ist besser: "Wahrscheinlichkeiten sind möglicherweise nicht genau definiert, wenn der Mechanismus oder die Methode, die die Zufallsvariable erzeugt, nicht klar definiert sind." Mit anderen Worten, ohne uns auf Wahrscheinlichkeitsfragen zu beschränken: "Eine mehrdeutig gestellte Frage hat keine eindeutige Antwort."

— Emil Friedman
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Danke für deine Antwort. Haben Sie Jaynes 'Verteidigung des Grundsatzes der Gleichgültigkeit gelesen? E. Jaynes, "Wo stehen wir auf Maximum Entropy?", R. Levine und M. Tribus, Eds. The MIT Press, 1979, S. 15–118.

— Neil G