Gaußsche Verteilungsverhältnis: Derivatives WRT Basiswert

Ich arbeite mit zwei unabhängigen Normalverteilungen und mit den Mitteln und und den Varianzen und .Y μ x μ y σ 2 x σ 2 $X$$Y$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

Ich bin an der Verteilung ihres Verhältnisses interessiert . Weder noch haben einen Mittelwert von Null, daher wird nicht als Cauchy verteilt.X Y $Z=X/Y$$X$$Y$$Z$

Ich muss die CDF von finden und dann die Ableitung der CDF in Bezug auf , , und .μ x μ y σ 2 x σ 2 $Z$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

Kennt jemand eine Arbeit, bei der diese bereits berechnet wurden? Oder wie mache ich das selbst?

Ich habe die Formel für die CDF in einer Veröffentlichung von 1969 gefunden , aber diese Derivate zu nehmen wird definitiv ein großer Schmerz sein. Vielleicht hat es schon jemand gemacht oder weiß, wie es einfach geht? Ich muss hauptsächlich die Anzeichen dieser Derivate kennen.

Diese Arbeit enthält auch eine analytisch einfachere Näherung, wenn überwiegend positiv ist. Ich kann diese Einschränkung nicht haben. Vielleicht hat die Approximation aber auch außerhalb des Parameterbereichs das gleiche Vorzeichen wie die wahre Ableitung?$Y$

Einige verwandte Artikel:

Wiki: ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

1. http://www.jstatsoft.org/v16/i04/

2. http://link.springer.com/article/10.1007/s00362-012-0429-2

3. http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/cedilnik.pdf

Verwenden Sie ein symbolisches Mathematikpaket wie Mathematica, wenn Sie eine Lizenz haben, oder Sage, wenn Sie keine haben.

Wenn Sie nur numerische Arbeiten ausführen, können Sie auch eine numerische Differenzierung in Betracht ziehen.

Obwohl es langweilig ist, sieht es einfach aus. Das heißt, alle beteiligten Funktionen verfügen über einfach zu berechnende Ableitungen. Sie können die numerische Differenzierung verwenden, um Ihr Ergebnis zu testen, wenn Sie fertig sind, um sicherzustellen, dass Sie die richtige Formel haben.

$\mu_x$

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}