Varianz der Widerstände parallel

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Angenommen, Sie haben einen Satz von Widerständen R, die alle mit dem Mittelwert μ und der Varianz σ verteilt sind.

Betrachten Sie einen Abschnitt einer Schaltung mit dem folgenden Layout: (r) || (r + r) || (r + r + r). Der äquivalente Widerstand jedes Teils beträgt r, 2r und 3r. Die Varianz jedes Abschnitts wäre dann $σ^2$ , $2σ^2$ , $3σ^2$ .

Was ist die Varianz im Widerstand der gesamten Schaltung?

Nachdem wir mehrere Millionen Punkte abgetastet hatten, stellten wir fest, dass die Varianz ungefähr beträgt $.10286\sigma^2$ .

Wie würden wir analytisch zu diesem Schluss kommen?

Bearbeiten: Es wird angenommen, dass die Widerstandswerte mit einem mittleren Widerstand r und einer Varianz normalverteilt sind $σ^2$ .

probability sampling variance

— lrAndroid
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1

Ich bin nicht davon überzeugt, dass dies zunächst ein geeignetes Modell ist. Kennen Sie die Nyquist-Johnson-Theorie des thermischen Schaltungsrauschens? Wenn Sie absichtlich etwas anderes tun, wäre es interessant, die Motivation zu sehen. Andernfalls könnte es sich lohnen, ein Standardmodell in Betracht zu ziehen. :)

— Kardinal

Ja, als ich meinen Versuch einer Antwort schrieb, wurde mir auch klar, dass das Modell anscheinend nicht nachvollziehbar ist, wie es gestellt wurde. Ich dachte jedoch, dass dies eher ein akademisches als ein praktisches Problem ist (sie machen schließlich Simulationen).

— Néstor

Ich entschuldige mich dafür, dass ich Sigma als Varianz habe. Ich habe ursprünglich VAR verwendet und jemand hat es zu Sigma bearbeitet.

— lrAndroid

Danke für das Update. Ich bin immer noch an der Motivation hinter dieser Frage interessiert, wenn Sie bereit sind, Ihrer Frage ein wenig hinzuzufügen. :)

— Kardinal

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Der äquivalente Widerstand der gesamten Schaltung löst Man nimmt an, dass für einige unabhängige Zufallsvariablen zentriert und mit Varianz . $R$

\frac{1}{R} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{R_{i}} .

$\frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}.$

R_{i} = i μ + σ \sqrt{i} Z_{i}

$R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$

Z_{i}

$Z_i$

1

$1$

Ohne weitere Angaben kann man die Varianz von nicht berechnen. Um weiter zu gehen, betrachten wir das Regime, in dem Dann ist daher wobei Man sieht, dass Weiterhin ist also in der Grenze $R$

σ ≪ μ .

$\color{red}{\sigma\ll\mu}.$

\frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{i μ} - \frac{σ}{μ^{2}} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} + higher order terms,

$\frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{higher order terms},$

\frac{1}{R} = \frac{a}{μ} - \frac{σ}{μ^{2}} Z + higher order terms,

$\frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{higher order terms},$

a = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i} = \frac{11}{6}, Z = \sum_{i = 1}^{3} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} .

$a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}.$

E (Z) = 0, E (Z^{2}) = b, b = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i^{3}} = \frac{251}{216} .

$\mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}.$

R = \frac{μ}{a} - \frac{σ}{a^{2}} Z + higher order terms,

$R=\frac{\mu}a-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{higher order terms},$

σ \to 0

$\sigma\to0$ , und Diese Asymptotik von und können auf eine beliebige Anzahl paralleler Widerstände verallgemeinert werden, wobei jeder das Ergebnis von Elementarwiderständen in Reihe ist, wobei die Elementarwiderstände unabhängig sind und jeweils den Mittelwert und die Varianz . Wenn dann , wo

E (R) \approx \frac{μ}{a} = \frac{6}{11} μ,

$\mathrm E(R)\approx\frac{\mu}a=\frac6{11}\mu,$

Var (R) \approx σ^{2} \cdot \frac{b}{a^{4}} = σ^{2} \cdot {(\frac{6}{11})}^{4} \cdot \frac{251}{216} = σ^{2} \cdot 0.10286 \dots

$\text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots$

E (R)

$\mathrm E(R)$

Var (R)

$\text{Var}(R)$

n_{i}

$n_i$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ \to 0

$\sigma\to0$

E (R) \to \frac{μ}{a}, σ^{- 2} Var (R) \to \frac{b}{a^{4}},

$\mathrm E(R)\to\frac{\mu}a,\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\to\frac{b}{a^4},$

a = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}}, b = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}^{3}} .

$a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}.$

— Hat
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Ich glaube nicht, dass die genaue Antwort nur von und abhängt . Ich nehme an, Sie haben bei der Stichprobe eine konkrete Verteilung verwendet - wahrscheinlich eine Normalverteilung? In jedem Fall können wir den Mittelwert und die Varianz des Widerstands der Schaltung in linearer Näherung berechnen, und dann ist die genaue Form der Verteilung irrelevant. $\mu$ $\sigma^2$

Der Widerstand der Schaltung ist . In linearer Näherung betragen der Mittelwert und die Varianz des Kehrwerts einer Zufallsvariablen mit dem Mittelwert und der Varianz bzw. . Wir haben also eine Summe von Begriffen mit den Mitteln , und und Varianzen , bzw. , was einen Mittelwert von und eine Varianz von $\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$ $\mu$ $\sigma^2$ $1/\mu$ $\sigma^2/\mu^4$ $1/\mu$ $1/(2\mu)$ $1/(3\mu)$ $\sigma^2/\mu^4$ $\sigma^2/(8\mu^4)$ $\sigma^2/(27\mu^4)$ $\frac{11}6/\mu$ $\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$ . dann den Kehrwert davon nimmt, ergibt sich ein Mittelwert von und eine Varianz von , in Übereinstimmung mit Ihrem Ergebnis. $\frac6{11}\mu$ $\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$

— joriki
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Dies setzt natürlich voraus, dass die Widerstände unabhängige Zufallsvariablen sind.

@ Robert: Ja (eher die Widerstände). Dies wurde bereits bei der Berechnung der Varianzen , und in der Frage angenommen, und es ist physikalisch sinnvoll (wenn wir jedoch alle Widerstände aus derselben Produktionscharge nehmen, werden ihre Widerstände etwas korreliert ).

σ

$\sigma$

2 σ

$2\sigma$

3 σ

$3\sigma$

— Joriki

In einem realen Design sind die Widerstände natürlich weit entfernt von unabhängigen Wohnmobilen. Tatsächlich wird viel Arbeit in das Layout gesteckt, damit sich einige Gruppen von Elementen gegenseitig verfolgen (was nicht überraschend als "Matching" bezeichnet wird).

1

Verwenden Sie ? Ich bin es eher gewohnt, dies als .

σ = E (X - E X)^{2}

$\sigma = E (X-EX)^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

@ kupfer.hat: Du hast natürlich recht mit - ich hatte die in der Frage verwendete Notation übernommen, ohne nachzudenken.

σ^{2}

$\sigma^2$

— Joriki

5

Dies hängt von der Form der Verteilung des Widerstands ab. Ohne die Verteilung zu kennen, kann ich nicht einmal den durchschnittlichen Widerstand sagen, obwohl ich denke, dass es Einschränkungen gibt.

Also, lassen Sie uns eine Verteilung holen , die tractible ist: Let die Standardabweichung der Widerstand von einem Widerstand sein. Der Widerstand sei , wobei jedes Vorzeichen mit einer Wahrscheinlichkeit von auftritt . Dies gibt uns zu berücksichtigende Fälle oder wenn wir einige Fälle kombinieren. Natürlich gehen wir davon aus, dass die Widerstände unabhängig sind. $s$ $\mu \pm s$ $1/2$ $2^6 = 64$ $2 \times 3 \times 4=24$

Wenn wir und wählen , beträgt der Mittelwert (etwas niedriger als ) und die Varianz beträgt . Wenn wir und wählen , beträgt die Varianz . $\mu = 100$ $s=1$ $54.543291$ $100 \times \frac{6}{11}$ $0.102864$ $\mu = 5$ $s=1$ $0.103693$

Hier ist eine Potenzreihenerweiterung für die Verhältnisse zwischen den Varianzen, wenn der Mittelwert und die Varianz : . Wenn klein ist, ist der dominante Term . $1$ $x$ $\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$ $x$ $\frac{1506}{14641} = 0.102862$

Während die Frage, die Sie technisch stellen, von der Verteilung abhängt, sind Sie wahrscheinlich an Situationen interessiert, in denen die Standardabweichung im Vergleich zum Mittelwert gering ist, und ich denke, es gibt eine genau definierte Grenze, die nicht von der Verteilung abhängt. Linearisieren Sie die Abhängigkeit des Widerstands der Schaltung von den Widerständen der einzelnen Teile:

C = \frac{1}{1 / R_{1} + 1 / (R_{2} + R_{3}) + 1 / (R_{4} + R_{5} + R_{6})}

$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$

\approx \frac{6}{11} μ + \sum_{i = 1}^{6} (R_{i} - μ) \frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ)

$\approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$

∴ Var (C) \approx \sum_{i = 1}^{6} Var (R_{i}) (\frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ))^{2}

$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2$

Bei dieser spezifischen Schaltung sind die skalierten partiellen Ableitungen und $\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121}$

(\frac{36}{121})^{2} + 2 (\frac{9}{121})^{2} + 3 (\frac{4}{121})^{2} = \frac{1506}{14641} = 0.102862

$\bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$

— Douglas Zare
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1

Dies erinnert mich an den multivariaten Delta-Satz, dh haben den Mittelwert und die Varianz , dann sollte eine asymptotische Varianz als , wobei und . Die endgültige Antwort ist dieselbe wie bei @Douglas Zare und OP, dh 0,1028 .

R_{1}, R_{2}, R_{3}

$R_1,R_2,R_3$

μ, 2 μ, 3 μ

$\mu,2\mu,3\mu$

σ^{2}, 2 σ^{2}, 3 σ^{2}

$\sigma^2, 2\sigma^2, 3\sigma^2$

g (R_{1}, R_{2}, R_{3}) = ((1 / R_{1}) + (1 / R_{2}) + (1 / R_{3}))^{- 1}

$g(R_1,R_2,R_3) = ((1/R_1)+(1/R_2)+(1/R_3))^{-1}$

\nabla g (μ) Σ \nabla g (μ)^{'}

$\nabla g(\mu)\Sigma\nabla g(\mu)'$

\nabla g (μ) = (\frac{36}{121}, \frac{9}{121}, \frac{4}{121})

$\nabla g(\mu) = (\frac{36}{121},\frac{9}{121},\frac{4}{121})$

Σ = \[(\begin{array}{ccc} . σ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 2 σ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 σ^{2} \end{array}) \]

$\Sigma = \[ \left( \begin{array}{ccc}. \sigma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\sigma^2 \end{array} \right)\]$

σ^{2}

$\sigma^2$

— VitalStatistix

1

Ich warne davor, dass dies, wie ich es begründet habe, eine lange Antwort ist , aber vielleicht kann sich jemand von meinem Versuch etwas Besseres einfallen lassen (was möglicherweise nicht optimal ist). Außerdem habe ich die ursprüngliche OP-Frage falsch verstanden und dachte, dass die Widerstände normal verteilt sind. Ich werde die Antwort trotzdem hinterlassen, aber das ist eine zugrunde liegende Annahme.

1. Physikalische Begründung des Problems

Meine Argumentation lautet wie folgt: Denken Sie daran, dass für Widerstände, die parallel sind, der äquivalente Widerstand gegeben ist durch: $R_{eq}$

R_{e q}^{- 1} = \sum_{i}^{N} \frac{1}{R_{i}},

$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$

wobei die Widerstände jedes Teils der Schaltung sind. In Ihrem Fall gibt uns dies $R_i$

R_{e q} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})}^{- 1}, (*)

$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$ wobei ist der Teil der Schaltung mit 1 Widerstand und hat daher eine Normalverteilung mit dem Mittelwert und der Varianz , und nach der gleichen Überlegung ist die äquivalenter Widerstand des Teils der Schaltung mit zwei Widerständen und schließlich ist der äquivalente Widerstand des Teils der Schaltung mit drei Widerständen. Sie sollten die Verteilung von und von dort die Varianz davon erhalten.

R_{1}

$R_1$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

R_{2} \sim N (2 μ, 2 σ^{2})

$R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$

R_{3} \sim N (3 μ, 3 σ^{2})

$R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$

R_{e q}

$R_{eq}$

2. Erhalten der Verteilung von $R_{eq}$

Eine Möglichkeit, die Verteilung zu finden : Von hier aus stellen wir auch fest, dass wir schreiben können (erhalten über den Bayes-Satz), was unter der Annahme Die Unabhängigkeit zwischen , und (was physikalisch plausibel ist) kann geschrieben werden als Ersetzen Sie dies in und stellen Sie fest, dass eine weitere Folge der Unabhängigkeit zwischen den drei Widerständen ist, dass

p (R_{e q}) = \int p (R_{e q}, R_{1}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} . (1)

$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3})

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$

R_{1}

$R_1$

R_{2}

$R_2$

R_{3}

$R_3$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) .

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$

(1)

$(1)$

p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{1} | R_{e q})

$p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$ erhalten wir: Unser letztes Problem besteht dann darin, , dh die Verteilung des rv . Dieses Problem ist analog zu dem hier gefundenen, außer dass Sie jetzt in Gl. durch eine Konstante, sagen wir . Nach den gleichen Argumenten wie oben können Sie feststellen, dass Anscheinend ist der Rest Ersetzen der bekannten Verteilungen, bis auf ein kleines Problem: Die Verteilung von kann aus indem man dies bemerkt

p (R_{e q}) = \int p (R_{1} | R_{e q}) p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{3} . (2)

$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$

p (R_{e q} | R_{3})

$p(R_{eq}|R_3)$

R_{e q} | R_{3}

$R_{eq}|R_3$

R_{3}

$R_3$

(*)

$(*)$

r_{3}

$r_3$

p (R_{e q} | R_{3}) = \int p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) p (R_{2}) d R_{2} . (3)

$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

(*)

$(*)$

X_{1}

$X_1$ ist Gauß, also müssen Sie im Wesentlichen die Verteilung der Zufallsvariablen wobei und Konstanten sind. und ist Gauß mit Mittelwert und Varianz . Wenn meine Berechnungen korrekt sind, lautet diese Verteilung: wobei so ‚s Verteilung wäre

W = {(\frac{1}{X} + a + b)}^{- 1},

$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

p (W) = \frac{1}{[1 - W (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (W) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$

X (W) = \frac{1}{W^{- 1} - a - b},

$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) = \frac{1}{[1 - R_{e q} (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (R_{e q}) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$ wobei und . Die Sache ist, dass ich nicht weiß, ob dies analytisch nachvollziehbar ist, um das Integral in Gleichung zu lösen, was uns dann dazu bringt, das Problem zu lösen, indem wir das Ergebnis in Gleichung ersetzen . Zumindest für mich um diese Zeit der Nacht ist es nicht.

a = 1 / R_{2}

$a=1/R_2$

b = 1 / R_{3}

$b=1/R_3$

(3)

$(3)$

(2)

$(2)$

— Néstor
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Sie gehen von einer Normalverteilung aus, obwohl der Widerstand nicht negativ sein kann? Ich vermute, dass dadurch die Varianz der Schaltung divergiert.

— Douglas Zare

1

Ich weiß, das hat mich auch verpfuscht, aber in der Praxis hängt es wirklich von den Werten von und . Wenn und , können wir das Modell "speichern". Unter normalen Bedingungen ist die Streuung eines Widerstands nicht sehr hoch, so dass die letzte Annahme eindeutig erfüllt ist. Das hat mich anfangs auch gestört, als die Leute die Größe als normale Zufallsvariable modellierten, aber aus dem gleichen Grund, den ich hier angegeben habe, haben mich einige Leute hier bei Stack-Exchange damit einverstanden gefühlt :-).

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ >> 0

$\mu>>0$

μ >> σ

$\mu>>\sigma$

— Néstor

Hmm, ich denke, die normale Modellierungshöhe ist so schlecht, dass ich sie als Beispiel für eine Verteilung verwende, die offensichtlich nicht normal ist. Ich nehme an, es ist vielleicht nicht schrecklich, wenn Sie eine Population gesunder erwachsener Männer mit demselben genetischen Hintergrund haben. Ich möchte jedoch von einem Biologen hören, dass dies in Ordnung ist. Die Argumentation, die ich zu oft gehört habe, dass die Größe jedes Knochens unabhängig ist, ist totaler Unsinn.

— Douglas Zare

Ich habe gerade festgestellt, dass die Widerstände nicht normal verteilt waren (ich könnte schwören, dass ich sie dort gelesen habe, wo auf der ursprünglichen Antwort des OP steht, aber ich denke, es war nur meine Einbildung).

— Néstor