Lambda - Exponential vs. Poisson Interpretation

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Ich versuche zu verstehen , welche Rolle sowohl in der Poisson- als auch in der Exponentialverteilung spielt und wie sie zum Finden von Wahrscheinlichkeiten verwendet wird (ja, ich habe den anderen Beitrag zu diesem Thema gelesen , habe es nicht ganz für mich getan). $\lambda$

Was ich (glaube ich) verstehe:

Poisson-Verteilung -
- diskret
- $\lambda$ ist definiert als die durchschnittliche Anzahl von Erfolgen (jedoch wird "Erfolg" im gegebenen Problemkontext definiert) pro Zeit- oder Raumeinheit
- PMF: $~~P(X = k;\lambda) = \frac{ \lambda^ke^{-\lambda} }{k!}$
- $P(X\leq k) = P(X = 0)~+~P(X = 1)~+~P(X = 2)~+~\ldots~+~P(X = k)$
- $P(X< k) = P(X = 0)~+~P(X = 1)~+~P(X = 2)~+~\ldots~+~P(X = k~-~1)$
- $P(X\geq k) = 1~-~P(X<k)$
- $P(X > k) = 1~-~P(X\leq k)$
Exponentialverteilung -
- kontinuierlich
- $\lambda$ ist definiert als die durchschnittliche Zeit / Raum zwischen Ereignissen (Erfolgen), die einer Poisson-Verteilung folgen
- Wo mein Verständnis zu verblassen beginnt:
- PDF: $~~f(x; \lambda)~=~ \lambda e^{-\lambda x}$
- CDF: $P(X \leq k; \lambda)~=~1~-~e^{-\lambda x}$
- $P(X > k; \lambda) ~=~ 1 ~-~P(X \leq k; \lambda)~=~e^{-\lambda x}$

Wo ich denke, liegt das Missverständnis:

Ab sofort gehe ich davon aus, dass zwischen den beiden Verteilungen ausgetauscht werden kann. Ist das der Fall? Ich habe kurz über "Neuparametrisierung" gelesen und denke, dass dies der Schlüssel sein könnte, aber ich weiß nicht, worauf sich dieser Prozess bezieht. Wie mache ich das und wie wirkt es sich auf die PMF und CDF der Exponentialverteilung aus? $\lambda$

Dies alles ergab sich aus einem Problem mit der Frage: Bei einer Zufallsvariablen X, die einer Exponentialverteilung mit Lambda = 3 folgt, finden Sie P (X> 8). Mein Ansatz war , was eine viel zu geringe Wahrscheinlichkeit ergibt. $e^{-3*8}$

self-study poisson-distribution exponential-distribution

— Marshall McQuillen
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Angenommen, ich warte an einer Haltestelle auf einen Bus. Angenommen, ein Bus kommt normalerweise alle 10 Minuten an der Haltestelle an. Jetzt definiere ich λ als die Ankunftsrate eines Busses pro Minute . Also ist λ = (1/10).

Jetzt möchte ich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass in der nächsten Minute kein Bus ankommt . Ich kann es sowohl mit der Poisson- als auch mit der Exponentialverteilung machen.

Poisson

λ = 1/10

Wahrscheinlichkeit von 0 Ankünften in der nächsten Minute: P (X = 0) = 0,9048

Exponentiell

λ = 1/10

Wahrscheinlichkeit, dass ich länger als 1 Minute warten muss: P (X> 1) = 0,9048

Hinweis: Sehen Sie sich die erwarteten Werte beider Verteilungen an. Für Poisson ergibt sich, dass die durchschnittliche Anzahl der pro Minute ankommenden Busse E (X) = λ = 0,10 Busse ist. Für Exponential ist die durchschnittliche Wartezeit für das Eintreffen eines Busses E (X) = (1 / λ) = 10 Minuten

— Mohit Tuteja
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Die Tatsache, dass beide Verteilungen denselben Parameter verwenden, ist wahrscheinlich ein Zufall, der sich aus der Notationskonvention ergibt. Immerhin ist eine Zufallsvariable diskret und die andere stetig. Sie sollten niemals genau dasselbe modellieren.

Manchmal ist es jedoch kein Zufall. Ein Fall, in dem diese Parameter ähnliche Bedeutungen haben können und in dem Sie eine dieser Verteilungen in derselben Modellierungsaufgabe verwenden können, ist die Verwendung eines Poisson-Prozesses . Dies ist nützlich in einer Situation, in der Sie zufällig modellierende Dinge modellieren (z. B. wenn Sie Texte auf Ihrem Handy erhalten). Angenommen, Sie beginnen zum Zeitpunkt mit der Messung . Wenn Sie jederzeit , können Sie die bis zu diesem Zeitpunkt und annehmen hier eine Rate, die in Anrufen pro Zeiteinheit gemessen wird. $0$ $t > 0$ $N_t$

N_{t} \sim Poisson (λ t);

$N_t \sim \text{Poisson}(\lambda t);$

λ

$\lambda$

Sie können sich auch die Wartezeiten zwischen den Texten und davon ausgehen, dass Hier ist auch eine Rate (wenn Sie die Dichte so schreiben, wie Sie in dieser Frage sind). Die Ankunftszeiten jeder Textnachricht sind die Teilsummen . $X_1, X_2, \ldots$

X_{i} \overset{i i d}{\sim} Exponential (λ);

$X_i \overset{iid}{\sim} \text{Exponential}(\lambda);$

λ

$\lambda$

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$

Die Beziehung zwischen diesen beiden Verteilungen in dieser speziellen Situation ist wie folgt: eine ganze Zahl und eine Zeit , ist In dem speziellen Fall, in dem , sind diese beiden Ausdrücke gleich . $n$ $t$

P (S_{n} \leq t) = P (N_{t} \geq n) .

$P(S_n \le t) = P(N_t \ge n).$

n = t = 1

$n = t = 1$

1 - e^{- λ}

$1 - e^{-\lambda}$

— Taylor
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Kann also zwischen den beiden Verteilungen ausgetauscht werden? Der Grund, den ich frage, ist, dass aus dieser Quelle ein Satz stammt, der lautet: "Die Anzahl der Vorkommen eines Ereignisses innerhalb einer Zeiteinheit hat eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter wenn die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Vorkommen des Ereignisses verstrichen ist Eine Exponentialverteilung mit dem Parameter , die unabhängig von früheren Vorkommen ist. "Dies lässt mich glauben, dass ich zwischen den beiden Gleichungen austauschen kann .

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

— Marshall McQuillen

@ MarshallshcQuillen das habe ich beantwortet. Sie können Lambda im Fall eines Poisson-Prozesses nicht „austauschen“, aber die beiden Zufallsvariablen teilen eine Formel für unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten

— Taylor

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Die Lambdas sind in bestimmten Zusammenhängen austauschbar. Angenommen, ich messe die Radioaktivität mit einem Geyger-Zähler . In einem Fall bedeutet , dass ich durchschnittlich 2 Klicks pro Sekunde erhalte und die durchschnittliche Zeit zwischen den Klicks Sekunden beträgt . Die Anzahl der Klicks pro Sekunde stammt aus einer Poisson-Verteilung, und die Zeit zwischen den Klicks stammt aus einer Exponentialverteilung, wobei beide . $\lambda=2$ $1/2$ $\lambda=2$

— Aksakal
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Fasst dies aus Wikipedia die Beziehung auf einfache Weise zusammen?

Wenn für jedes t> 0 die Anzahl der Ankünfte im Zeitintervall [0, t] der Poisson-Verteilung mit dem Mittelwert λt folgt, dann ist die Folge der Zwischenankunftszeiten unabhängig und identisch verteilte exponentielle Zufallsvariablen mit dem Mittelwert 1 / λ.

Referenz: SM Ross (2007). Einführung in Wahrscheinlichkeitsmodelle (9. Aufl.). Boston: Akademische Presse. ISBN 978-0-12-598062-3 . S. 307–308.

— Matt Wenham
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Wie in Taylors Antwort angegeben, besteht ein Zusammenhang zwischen der Exponentialverteilung und der Poisson-Verteilung durch die Äquivalenz bestimmter Wahrscheinlichkeitsaussagen, die diese in einem Poisson-Prozess betreffen. Mathematisch ergibt sich diese Äquivalenz aus einer Wiederholungseigenschaft der unvollständigen Gammafunktion, mit der die fragliche probabilistische Äquivalenz gezeigt werden kann.

In einem Poisson-Prozess treten Ereignisse mit einer bestimmten Rate und wir können den Prozess analysieren, indem wir entweder die Zeit zwischen Ereignissen oder die Anzahl der Ereignisse in einer bestimmten Zeit betrachten. Um das erstere zu tun, sei die Zeit zwischen Ereignissen im Prozess und definiere die Teilsummen , die die Zeit darstellen, die für die ersten Ereignisse benötigt wird. Dann haben wir so dass: $\lambda > 0$ $X_1, X_2, X_3, ... \sim \text{IID Exp} (\lambda)$ $S_n \equiv \sum_{i=1}^n X_i$ $n$ $S_n \sim \text{Ga} (n, \lambda)$

\begin{aligned} P (S_{n} ⩽ t) = 1 - P (S_{n} > t) & = 1 - \int_{t}^{\infty} Ga (s | n, λ) d s \\ = 1 - \frac{λ^{n}}{Γ (n)} \int_{t}^{\infty} s^{n - 1} \exp (- λ s) d s \\ = 1 - \frac{1}{Γ (n)} \int_{t}^{\infty} (λ s)^{n - 1} \exp (- λ s) λ d s \\ = 1 - \frac{1}{Γ (n)} \int_{λ t}^{\infty} r^{n - 1} \exp (- r) d r \\ = 1 - \frac{Γ (n, λ t)}{Γ (n)} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(S_n \leqslant t) = 1 - \mathbb{P}(S_n >t) &= 1 - \int\limits_t^{\infty} \text{Ga} (s|n, \lambda) ds \\ &= 1-\frac{\lambda^n}{\Gamma (n) } \int\limits_t^{\infty} s^{n-1} \exp (- \lambda s) ds \\ &= 1-\frac{1}{\Gamma (n)} \int\limits_t^{\infty} (\lambda s) ^{n-1} \exp (- \lambda s) \lambda ds \\ &= 1-\frac{1}{\Gamma (n)} \int\limits_{\lambda t}^{\infty} r^{n-1} \exp \left( - r \right) dr \\ &= 1-\frac{\Gamma(n, \lambda t)}{\Gamma (n)}. \\ \end{aligned} \end{equation}$

Bei Verwendung der Teileintegration folgt die obere unvollständige Gammafunktion der Wiederholung:

\begin{matrix} Γ (n, x) = (n - 1) Γ (n - 1, x) + x^{n - 1} \exp (- x) & Γ (1, x) = \exp (- x) . \end{matrix}

$\begin{matrix} \Gamma (n, x) = (n-1) \Gamma(n-1, x) + x^{n-1} \exp (-x) & & \Gamma (1, x) = \exp(-x). \end{matrix}$

Für die ganze Zahl ergibt die wiederholte Anwendung dieser Wiederholung: $n$

Γ (n, x) = Γ (n) \exp (- x) \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{x^{k}}{k!} .

$\Gamma (n, x) = \Gamma (n) \exp (-x) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^k}{k!}.$

Also, lassen haben wir: $N_t \sim \text{Pois} (\lambda t)$

\begin{aligned} P (S_{n} ⩽ t) & = 1 - \exp (- λ t) \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(λ t)^{k}}{k!} \\ = 1 - \sum_{k = 0}^{n - 1} Pois (k | λ t) \\ = \sum_{k = n}^{\infty} Pois (k | λ t) \\ = P (N_{t} ⩾ n) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(S_n \leqslant t) &= 1- \exp (-\lambda t) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(\lambda t)^k}{k!} \\ &= 1 - \sum_{k=0}^{n-1} \text{Pois} (k|\lambda t) \\ &= \sum_{k=n}^{\infty} \text{Pois} (k|\lambda t) \\ &= \mathbb{P} (N_t \geqslant n). \end{aligned} \end{equation}$

Dies gibt uns ein grundlegendes intuitives Ergebnis für den Poisson-Prozess. Wenn die für die ersten Ereignisse benötigte Zeit nicht größer als ist, beträgt die Anzahl der Ereignisse, die zum Zeitpunkt aufgetreten sind, mindestens . Wenn die Zeit zwischen Ereignissen einer Exponentialverteilung folgt, folgt die Anzahl der Ereignisse zu einem bestimmten Zeitpunkt einer Poisson-Verteilung. $n$ $t$ $t$ $n$

— Ben - Monica wieder einsetzen
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