Zusammenhang zwischen Poisson und Exponentialverteilung

Die Wartezeiten für die Poissonverteilung sind eine Exponentialverteilung mit dem Parameter Lambda. Aber ich verstehe es nicht. Poisson modelliert beispielsweise die Anzahl der Ankünfte pro Zeiteinheit. In welcher Beziehung steht dies zur Exponentialverteilung? Nehmen wir an, die Wahrscheinlichkeit von k Ankünften in einer Zeiteinheit ist P (k) (modelliert durch Poisson) und die Wahrscheinlichkeit von k + 1 ist P (k + 1). Wie modelliert die Exponentialverteilung die Wartezeit zwischen ihnen?

Ich werde die folgende Notation verwenden, um mit dem Wiki so konsistent wie möglich zu sein (falls Sie zwischen meiner Antwort und den Wiki-Definitionen für Poisson und Exponential hin und her gehen möchten .)

$N_t$ : Die Anzahl der Ankünfte während des Zeitraums$t$

$X_t$ : Die Zeit, die eine weitere Ankunft benötigt, vorausgesetzt, dass jemand zur Zeit angekommen ist$t$

Per Definition sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

Das Ereignis auf der linken Seite erfasst das Ereignis, dass niemand in dem Zeitintervall angekommen ist was impliziert, dass unsere Zählung der Anzahl von Ankünften zum Zeitpunkt identisch ist mit der Zählung zum Zeitpunkt das ist Veranstaltung auf der rechten Seite.$[t,t+x]$$t+x$$t$

Nach der Ergänzungsregel haben wir auch:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

Unter Verwendung der Äquivalenz der beiden oben beschriebenen Ereignisse können wir das Obige wie folgt umschreiben:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

Aber,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

Die Verwendung des oben genannten Poisson pmf, bei dem die durchschnittliche Anzahl der Ankünfte pro Zeiteinheit und eine Anzahl von Zeiteinheiten ist, vereinfacht Folgendes:$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

dh

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

Ersetzt man unsere ursprüngliche Gleichung, so haben wir:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

Das obige ist das cdf eines exponentiellen pdf.

Bei einem Poisson-Prozess treten Treffer unabhängig von der Vergangenheit zufällig auf, jedoch mit einer bekannten langfristigen Durchschnittsrate der Treffer pro Zeiteinheit. Die Poisson-Verteilung würde uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln lassen, eine bestimmte Anzahl von Treffern zu erhalten.$\lambda$

Anstatt nun die Anzahl der Treffer zu betrachten, betrachten wir die Zufallsvariable (für die Lebensdauer), die Zeit, die Sie auf den ersten Treffer warten müssen.$L$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit größer als ein gegebener Zeitwert ist, ist (durch die Poisson-Verteilung, wobei ).$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$ (die kumulative Verteilungsfunktion). Wir können die Dichtefunktion erhalten, indem wir die Ableitung hiervon nehmen:

Jede Zufallsvariable mit einer solchen Dichtefunktion wird als exponentiell verteilt bezeichnet.

Die anderen Antworten erklären die Mathematik sehr gut. Ich denke, es hilft, ein physikalisches Beispiel zu betrachten. Wenn ich an einen Poisson-Prozess denke, komme ich immer wieder auf die Idee zurück, dass Autos auf einer Straße fahren. Lambda ist die durchschnittliche Anzahl von Autos, die pro Zeiteinheit verkehren, sagen wir 60 pro Stunde (Lambda = 60). Wir wissen jedoch, dass die tatsächliche Anzahl variieren wird - einige Tage mehr, einige Tage weniger. Mit der Poisson-Verteilung können wir diese Variabilität modellieren.

Mittlerweile entsprechen durchschnittlich 60 Autos pro Stunde einem Auto, das pro Minute vorbeifährt. Wir wissen jedoch auch hier, dass die Zeitspanne zwischen den Ankunftsterminen unterschiedlich sein wird: Manchmal länger als 1 Minute; andere Male weniger. Mit der Exponentialverteilung können wir diese Variabilität modellieren.

Abgesehen davon folgen vorbeifahrende Autos nicht immer einem Poisson-Prozess. Wenn es zum Beispiel eine Ampel gleich um die Ecke gibt, werden die Ankünfte gebündelt statt stetig. Auf einer offenen Autobahn kann ein langsamer Sattelzug eine lange Reihe von Autos halten, was wiederum ein Zusammenballen verursacht. In diesen Fällen funktioniert die Poisson-Verteilung möglicherweise für längere Zeiträume noch in Ordnung, aber die Exponentialfunktion schlägt bei der Modellierung der Ankunftszeiten schwer fehl.

Beachten Sie auch, dass es eine enorme Variabilität in Abhängigkeit von der Tageszeit gibt. viel langsamer um 3 Uhr morgens. Stellen Sie sicher, dass Ihr Lambda den von Ihnen in Betracht gezogenen Zeitraum widerspiegelt.

Die Poisson-Verteilung wird normalerweise von der Binomialverteilung abgeleitet (beide diskret). Dies finden Sie im Wiki.

Die Poisson-Verteilung (diskret) kann jedoch auch aus der Exponentialverteilung (stetig) abgeleitet werden.

Ich habe den Proof zum Wiki hinzugefügt (Link unten):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution