Wenn ich einen Vektor von

Mein letztendliches Ziel ist es, einen Vektor der Größe von korrelierten Bernoulli-Zufallsvariablen erzeugen zu können . Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, den Gaußschen Coupla-Ansatz zu verwenden. Der Gaußsche Coupla-Ansatz lässt mich jedoch nur mit einem Vektor zurück: $N$

(p_{1}, \dots, p_{N.}) \in [0, 1 {]]}^{N.}

$(p_1, \ldots, p_N) \in [0,1]^N$

Angenommen, ich habe so generiert dass die gemeinsame Korrelation zwischen ihnen . Wie kann ich diese nun in einen neuen Vektor von oder umwandeln ? Mit anderen Worten, ich möchte: $(p_1, \ldots, p_N)$ $\rho$ $0$ $1$

({X.}_{1}, \dots, {X.}_{N.}) \in {0, 1 {}}}^{N.}

$(X_1, \ldots, X_N) \in \{0,1\}^N$

aber mit der gleichen Korrelation . $\rho$

Ein Ansatz, an den ich dachte, bestand darin, eine feste Grenzregel so zuzuweisen, dass wenn , dann und wenn , dann . $p_i < 0.5$ $X_i = 0$ $p_i \geq 0.5$ $X_i = 1$

Dies scheint in Simulationen insofern gut zu funktionieren, als es die Korrelationsstruktur beibehält, aber es ist für mich sehr willkürlich, welcher Grenzwert neben . $0.5$

Eine andere Möglichkeit besteht darin, jedes als Bernoulli-Zufallsvariable mit der Erfolgswahrscheinlichkeit und daraus eine Stichprobe zu ziehen. Dieser Ansatz scheint jedoch einen Korrelationsverlust zu verursachen, und anstelle von kann ich oder . $X_i$ $p_i$ $\rho$ $\frac{\rho}{2}$ $\frac{\rho}{3}$

Hat jemand irgendwelche Gedanken oder Anregungen dazu? Vielen Dank.

— user321627
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Sie haben N Variablen. Warum sprichst du nur von einem einzelnen Rho und nicht von einer Rhos-Matrix?

— ttnphns

Siehe diese Mathoverflow-Frage

— Jakub Bartczuk

Ich verstehe Gaußsche Kopula nicht genug, um zu wissen, wo das Problem liegt. Aber ich habe einen Weg gefunden, korrelierte Bernoulli-Vektoren zu erzeugen.

Folgen Sie https://mathoverflow.net/a/19436/105908, wenn wir einen Satz fester Vektoren und ein Zufallsvektor auf der Einheitskugel können wir in binäres umwandeln, wobei . In diesem Aufbau ist $v_1 ... v_n$ $u$ $u$ $X$ $X_i = (u \cdot v_i > 0)$ wobeider Winkel zwischenund. $cor(X_i,X_j) = \frac{\pi - 2 * \theta(i,j)}{\pi}$ $\theta(i,j)$ $v_i$ $v_j$

So finden Sie eine geeignete Matrix um eine gewünschte Korrelationsmatrix zu erzeugen ? Die Winkelbedingung übersetzt sich in $V = |v_1 ... v_n|$ $R$ und somit können wirmit Cholesky-Zerlegung finden. $VV^T = cos(-\frac{\pi R - \pi}{2})$ $V$

Ein Beispielcode in R folgt:

#Get a simple correlation matrix 
N = 3
cor_matrix <- matrix(c(1,0.5,0.8,0.5,1,0.3,0.8,0.3,1), N, N)

#Calculate the vectors with desired angles
vector_matrix <- chol(cos( (pi * cor_matrix - pi) * -0.5))

#You can generate random unit vectors by normalizing a vector 
#of normally distributed variables, note however that the normalization
#does not affect the sign of the dot product and so we ignore it
num_samples <- 10000
normal_rand <- matrix(rnorm(num_samples * N), num_samples, N)

#Generate the target variables
B <- (normal_rand %*% vector_matrix) > 0

#See for yourself that it works
cor(B)  
cor(B) - cor_matrix

Danke @ jakub-bartczuk für den Link zur MO-Frage - das würde ich alleine nicht finden.

$X_i \sim Bernoulli(0.5)$

— Martin Modrák
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V V^{T} = c o s (- \frac{π R - π}{2})

$VV^T = cos(-\frac{\pi R - \pi}{2})$

R_{i, j} = \frac{π - 2 * θ (i, j)}{π}

$R_{i,j} = \frac{\pi - 2 * \theta(i,j)}{\pi}$

θ (i, j) = a r c c o s (\frac{v_{i} . v_{j}}{| v_{i} | . | v_{j} |})

$\theta(i,j) = arccos(\frac{v_i . v_j}{|v_i|.|v_j|})$