Wie hätte ich die Normalverteilung entdecken können?

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Was war die erste Ableitung der Normalverteilung ? Können Sie diese Ableitung reproduzieren und sie auch in ihrem historischen Kontext erklären ?

Ich meine, wenn die Menschheit die Normalverteilung vergessen hätte, wie würde ich sie am wahrscheinlichsten wiederfinden und was wäre die wahrscheinlichste Ableitung? Ich würde vermuten, dass die ersten Ableitungen als Nebenprodukt des Versuchs entstanden sein müssen, schnelle Wege zu finden, um grundlegende diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie Binome zu berechnen. Ist das korrekt?

— statslearner
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Es ist nicht sehr schwierig, Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu finden: Nehmen Sie eine positive integrierbare Funktion, normalisieren Sie sie, und Sie haben somit eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Wenn Sie nun eine Wahrscheinlichkeitsableitung mit einer Verteilungsfamilie durchführen möchten, muss der Logarithmus der Dichte eine einfache konvexe Funktion sein. Genauer gesagt, wenn Sie möchten, dass die maximale Wahrscheinlichkeit eine gegebene konvexe Verlustfunktion minimiert, ist das Exponential dieses Verlusts eine geeignete Wahl der Dichte. Der quadratische Fehler führt zur Normalverteilung und ist möglicherweise das einfachste Beispiel für einen konvexen Verlust.

— Olivier

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@Olivier, nur weil du eine Wahrscheinlichkeitsverteilung einfach erfinden kannst, heißt das nicht, dass sie nützlich ist oder überall auftaucht. Die Entdeckung der Gaußschen Verteilung hängt mit der Lösung realer Probleme zusammen, die ich vermute, und nicht nur mit der Normalisierung einer Funktion.

— Statslearner

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Es gibt bereits eine Reihe von Fragen und Antworten, die sich auf diesen Verlauf beziehen und Ihre Frage möglicherweise beantworten oder teilweise beantworten.

— Glen_b

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Der Abschnitt in der Wikipedia zur Geschichte de.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution#History ist lesenswert. Die Schlussfolgerung, die ich ziehe, ist, dass die Priorität hier wie so oft Gegenstand internationaler Auseinandersetzungen ist. Sie können Ihre Wahl treffen von De Moivre, Laplace, Gauss, ...

— mdewey

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Schauen Sie sich diese Frage hier und die Antwort von @Glen_b stats.stackexchange.com/questions/227034/… an. Ich denke, Sie können die Normalverteilung auf eine Weise wiederfinden, indem Sie Messungen durchführen und feststellen, dass eine Unsicherheit / ein Fehler vorliegt mit Ihrer Messung, dh wenn Sie Ihre Messungen immer und immer wieder wiederholen, wird das Ergebnis nicht 100% identisch sein. Dann wollen Sie die Unsicherheit / den Fehler quantifizieren. Und dann brauchen Sie einen Kalkül :) Auch die Stahl-Referenz ist wirklich eine Lektüre wert!

— Stefan

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Ich würde vermuten, dass die ersten Ableitungen als Nebenprodukt des Versuchs entstanden sein müssen, schnelle Wege zu finden, um grundlegende diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie Binome zu berechnen. Ist das korrekt?

Ja.

Die Normalkurve wurde 1733 von DeMoivre als Annäherung an die Binomialverteilung mathematisch entwickelt . Seine Arbeit wurde erst 1924 von Karl Pearson entdeckt. Laplace verwendete 1783 die Normalkurve, um die Verteilung der Fehler zu beschreiben. Anschließend verwendete Gauß die Normalkurve, um 1809 astronomische Daten zu analysieren.

Quelle: NORMALE VERTEILUNG

Andere Quellen mit historischem Kontext:

Heutzutage wird die Tatsache, dass die Normalverteilung eine Näherung für Binome für großes ist, als Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes angesehen. Es ist in den meisten Lehrbüchern zu finden und gilt als elementar. Einen Beweis finden Sie auf Wikipedia . Das Exponential zeigt sich nur als nach einer Taylor-Erweiterung der charakteristischen Funktion, die ergibt . Manchmal findet man in Lehrbüchern immer noch spezielle Beweise für Binome, und dies ist als DeMoivre-Laplace- Theorem bekannt. $n$ $e^x=\lim(1+\frac{x}{n})^n$ $-\frac{t^2}{2}$

— Benoit Sanchez
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Benoit, die Herleitung von DeMoivre, scheint nicht elementar, könnten Sie sie in Ihre Antwort aufnehmen? Diese DeMoivre Ableitung ist etwas , was ich bin auf der Suche nach (als Randnotiz, weißt du, wenn alle Kalkül und Annäherungen Ergebnisse - Stirlings Annäherung zum Beispiel - für DeMoivre verfügbar waren bereits oder ist dies eine moderne Version seines Beweises)

— statslearner

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Dies ist eine moderne Version. Ich kenne die historische Ableitung von DeMoire nicht. Die einzige historische Information, die ich habe, ist der Artikel, auf den sowohl Stephan als auch ich hingewiesen haben.

— Benoit Sanchez

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Stahl ("Die Evolution der Normalverteilung", Mathematics Magazine , 2006) argumentiert, dass die ersten historischen Spuren der Normalverteilung durch Glücksspiele, Annäherungen an die Binomialverteilungen (für die Demografie) und Fehleranalysen in der Astronomie entstanden sind.

— S. Kolassa - Setzen Sie Monica wieder ein
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Ja, aber in den meisten (allen?) Fällen war die Normalverteilung nicht explizit. Das klingt ein wenig nach dem Schluss, dass Ben Franklin die Maxwellschen Gleichungen kannte (oder erfand), weil er mit Elektrizität experimentierte.

— Whuber

Können Sie die Ableitungen angeben, die diese Autoren gemacht haben?

— statslearner

Welche Mathematik brauchten sie zum Beispiel, um sie abzuleiten?

— Statslearner

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Der historische Teil der Frage wurde in diesem Forum möglicherweise bereits mehrmals beantwortet, z. B. siehe die akzeptierte Antwort auf eine ähnliche Frage. Nein, es wurde nicht als Annäherung an diskrete Verteilungen entdeckt. Ich bezweifle, dass es damals überhaupt einen Begriff von Wahrscheinlichkeitsverteilung gab. Es wurde von Leuten entdeckt, die heutzutage Physiker oder Mathematiker genannt werden, ich denke, Naturphilosophen zu der Zeit.

Wie eine andere Zivilisation die Normalverteilung entdecken würde, ist eine interessante Frage. Jeder, der Fehler und Störungen jeglicher Art untersucht, hätte sie gefunden. Es geschah so, dass unsere Zivilisation es beim Studium der Himmelskörper fand. Ich bezweifle, dass es wahrscheinlich ist, dass andere Menschen Statistiken vor Physik oder Mathematik entwickeln.

— Aksakal
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Diese Frage habe ich mir auch gestellt und dieses Youtube-Video ist die beste Antwort, die ich gefunden habe

https://www.youtube.com/watch?v=cTyPuZ9-JZ0

Ich glaube nicht, dass es sich um die Originalableitung handelt, aber die Beschreibung des Videos besagt, dass "dieses Argument aus der Arbeit des Astronomen John Herschel von 1850 und des Physikers James Clerk Maxwell von 1860 stammt."

— Sebastian
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Das Besondere an der Normalverteilung ist die zentrale Grenzwerttheorie. Einzelheiten und Herleitung / Beweis finden Sie unter: https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem

— Elliotp
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Dies beantwortet die Frage nicht.

— Whuber

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Die Frage lautet: Wie hätte ich die Normalverteilung entdecken können? und die Antwort beantwortet das mit Sicherheit.

— G. Grothendieck

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$\propto \exp(-x^2)$

In der Quantenmechanik, Informationstheorie und Thermodynamik quantifiziert die Entropie den Zustand eines Systems. In diesen Bereichen ist der Quantenzustand tatsächlich völlig zufällig oder stochastisch. Vergleichen Sie dies mit der klassischen Mechanik. In der klassischen Mechanik sind Zustände festgelegt, aber unsere Beobachtung ist unvollständig, da Hunderte oder Millionen von unbeobachteten Einflussfaktoren einfließen: Aus dieser Art von Ergebnissen resultiert die CLT.

In der Quantenmechanik verwenden wir die Bayes'sche Wahrscheinlichkeit, um unseren Glauben an den Zustand des Systems zu quantifizieren. In diesem Sinne wurden Beweise vorgelegt und optimiert, dass die Gaußsche oder normale Zufallsvariable unter allen Zufallsvariablen mit endlichem Mittelwert oder Standardabweichung die maximale Entropie aufweist.

https://www.dsprelated.com/freebooks/sasp/Maximum_Entropy_Property_Gaussian.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_entropy

http://bayes.wustl.edu/etj/articles/brandeis.pdf

— AdamO
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