Wie finde ich Ähnlichkeiten zwischen Zeitreihen?


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Im folgenden Beispiel habe ich einen Datenrahmen, der aus einer Zeitreihe von Wassertemperaturmessungen besteht, die in 5 Tiefen des Ozeans aufgezeichnet wurden, wobei jeder Wert in Tempdem Datum in DateTimeund der Tiefe in entspricht Depth.

set.seed(1)
Temp <- rnorm(43800,sd=20)
AirT <- rnorm(8760,sd=20)
Depth <- c(1:5)

DateTime = seq(from=as.POSIXct("2010-01-01 00:00"), 
           to=as.POSIXct("2010-12-31 23:00"), length=8760)
Time <- as.POSIXct(DateTime, format = "%Y-%m-%d %H:%M")

DatT <- data.frame(Temp)

## bind together
FinalDat <- cbind(DatT, Date = rep(Time,5))

FinalDat <- cbind(FinalDat, AirT = rep(AirT, 5),
                  Depth = rep(Depth, each = 8760),
                  Doy = as.numeric(format(Time,format = "%j")),
                  DecTime = rep(seq(1,366, length = 8760),5))

Daraus möchte ich die Ähnlichkeit zwischen Lufttemperatur ( AirT) und Wassertemperatur in diesen verschiedenen Tiefen herausfinden . Ich kann die Korrelation zwischen Lufttemperatur und Wassertemperatur für die verschiedenen Tiefen berechnen, was zeigt, dass die Korrelation mit der Tiefe abnimmt. Ich suche jedoch nach einer ausgefeilteren Methode (außer dem Erhalt eines einzelnen Werts für jede Zeitreihe). Kann jemand eine geeignete Methode vorschlagen, um dies zu erreichen?

Hier ist eine ausgedünnte Version meines data.frame (FinalDat):

       Temp       Date     AirT Depth
1    3.4069 2011-01-01  6.52710   0.5
2    3.2165 2011-01-08  6.77050   0.5
3    3.5630 2011-01-15  6.61410   0.5
4    3.8027 2011-01-22 -2.94440   0.5
5    3.7328 2011-01-29 -2.92900   0.5
6    4.1008 2011-02-05 12.74800   0.5
7    5.1825 2011-02-12  8.91900   0.5
8    5.0460 2011-02-19  4.43910   0.5
9    5.6156 2011-02-26  8.58090   0.5
10   5.5237 2011-03-05  1.56630   0.5
11   5.5110 2011-03-12  7.94470   0.5
12   6.5645 2011-03-19 -0.25485   0.5
13   7.8872 2011-03-26  4.11280   0.5
14   8.9096 2011-04-02 12.88700   0.5
15  10.8740 2011-04-09  6.34800   0.5
16  10.9600 2011-04-16  9.44190   0.5
17  14.6930 2011-04-23 12.37300   0.5
18  15.1330 2011-04-30 11.40200   0.5
19  14.2740 2011-05-07 14.48400   0.5
20  14.5670 2011-05-14  5.68590   0.5
21  14.0330 2011-05-21  8.36570   0.5
22  13.3870 2011-05-28 11.03900   0.5
23  16.5560 2011-06-04 13.10300   0.5
24  16.4140 2011-06-11  7.56720   0.5
25  16.2590 2011-06-18 12.02400   0.5
26  16.5120 2011-06-25 11.43100   0.5
27  17.9290 2011-07-02  8.75940   0.5
28  18.7150 2011-07-09 13.06100   0.5
29  19.4970 2011-07-16 14.96000   0.5
30  17.7090 2011-07-23 10.06100   0.5
31  19.5090 2011-07-30 11.76200   0.5
32  20.4780 2011-08-06 12.56800   0.5
33  17.8850 2011-08-13 16.93200   0.5
34  17.7440 2011-08-20 14.82700   0.5
35  18.1400 2011-08-27 12.14800   0.5
36  17.0460 2011-09-03 17.19700   0.5
37  16.5960 2011-09-10 18.45800   0.5
38  15.6430 2011-09-17 13.07600   0.5
39  14.9960 2011-09-24 13.19300   0.5
40  16.9880 2011-10-01 20.17800   0.5
41  14.5380 2011-10-08 10.92600   0.5
42  14.3770 2011-10-15  9.64180   0.5
43  12.6210 2011-10-22 11.71200   0.5
44  11.7810 2011-10-29  7.32770   0.5
45  11.8270 2011-11-05 11.15600   0.5
46  10.9790 2011-11-12 11.30000   0.5
47  10.3410 2011-11-19 10.77100   0.5
48   9.6291 2011-11-26  6.81090   0.5
49   8.5466 2011-12-03  9.11540   0.5
50   7.1007 2011-12-10  3.52720   0.5
51   6.3081 2011-12-17  0.32245   0.5
52   6.1304 2011-12-24  5.40000   0.5
53   6.1974 2011-12-31 11.93100   0.5
54   3.2471 2011-01-07  0.44508   4.0
55   3.4851 2011-01-14  8.43040   4.0
56   3.8537 2011-01-21 -2.26530   4.0
57   3.8496 2011-01-28  1.33950   4.0
58   3.8461 2011-02-04 10.18700   4.0
59   4.7892 2011-02-11  6.91330   4.0
60   5.1160 2011-02-18  5.30300   4.0
61   5.4236 2011-02-25 10.40700   4.0
62   5.3190 2011-03-04  3.63990   4.0
63   5.5318 2011-03-11  5.49690   4.0
64   6.0956 2011-03-18  2.12060   4.0
65   6.7955 2011-03-25  5.66700   4.0
66   8.5056 2011-04-01 12.13400   4.0
67   9.8450 2011-04-08  6.11440   4.0
68  10.7220 2011-04-15  9.85800   4.0
69  11.3970 2011-04-22 11.39300   4.0
70  12.6660 2011-04-29  9.54510   4.0
71  13.6370 2011-05-06 12.99600   4.0
72  14.7530 2011-05-13  8.83800   4.0
73  13.8210 2011-05-20  8.81900   4.0
74  13.5120 2011-05-27 10.80500   4.0
75  14.2630 2011-06-03 11.08700   4.0
76  15.6330 2011-06-10  7.20970   4.0
77  15.5290 2011-06-17 10.11400   4.0
78  16.6340 2011-06-24 11.29400   4.0
79  17.4820 2011-07-01 11.43900   4.0
80  17.8620 2011-07-08 13.29700   4.0
81  18.8970 2011-07-15 11.61900   4.0
82  17.4720 2011-07-22 12.73800   4.0
83  17.8640 2011-07-29 14.95600   4.0
84  17.6610 2011-08-05 16.48600   4.0
85  17.4880 2011-08-12 16.06000   4.0
86  17.5980 2011-08-19 11.38900   4.0
87  17.8150 2011-08-26 10.69200   4.0
88  16.7470 2011-09-02 14.71100   4.0
89  16.0230 2011-09-09 14.09600   4.0
90  15.5350 2011-09-16 13.03500   4.0
91  15.0200 2011-09-23 11.81800   4.0
92  15.1200 2011-09-30 14.49800   4.0
93  15.0590 2011-10-07 10.76800   4.0
94  14.5790 2011-10-14 13.91800   4.0
95  12.7810 2011-10-21  8.84760   4.0
96  11.9060 2011-10-28  8.37600   4.0
97  11.7150 2011-11-04 12.57400   4.0
98  11.1170 2011-11-11 11.26200   4.0
99  10.3560 2011-11-18 11.11100   4.0
100  9.8484 2011-11-25 12.91700   4.0
101  8.7573 2011-12-02  2.43560   4.0
102  7.2890 2011-12-09  5.87070   4.0
103  6.4547 2011-12-16  2.31850   4.0
104  6.0336 2011-12-23 11.12900   4.0
105  6.2363 2011-12-30  4.78220   4.0
106  3.4241 2011-01-06  2.92880   6.0
107  3.4075 2011-01-13  9.59030   6.0
108  3.9650 2011-01-20 -1.45990   6.0
109  3.9061 2011-01-27  3.49050   6.0
110  3.8072 2011-02-03  6.15450   6.0
111  4.7597 2011-02-10  8.87270   6.0
112  4.9920 2011-02-17  4.61980   6.0
113  5.1485 2011-02-24  7.66730   6.0
114  5.4556 2011-03-03 -0.73976   6.0
115  5.4305 2011-03-10  9.08700   6.0
116  5.9204 2011-03-17  6.57230   6.0
117  6.4393 2011-03-24  4.21580   6.0
118  6.7361 2011-03-31  9.55530   6.0
119  8.9556 2011-04-07 10.24900   6.0
120 10.7240 2011-04-14  8.15550   6.0
121 10.4810 2011-04-21  9.75940   6.0
122 10.6310 2011-04-28  6.43770   6.0
123 13.2840 2011-05-05 10.70900   6.0
124 14.1380 2011-05-12  9.11810   6.0
125 13.7850 2011-05-19  8.26810   6.0
126 13.6800 2011-05-26 11.65000   6.0
127 13.8950 2011-06-02 13.10500   6.0
128 13.8530 2011-06-09 11.09500   6.0
129 14.6830 2011-06-16 12.63000   6.0
130 15.3570 2011-06-23 12.66100   6.0
131 15.5860 2011-06-30  9.57130   6.0
132 16.2190 2011-07-07 13.84300   6.0
133 16.1140 2011-07-14 10.93200   6.0
134 17.1240 2011-07-21 13.44100   6.0
135 17.2110 2011-07-28 13.41700   6.0
136 16.9800 2011-08-04 14.81500   6.0
137 17.4610 2011-08-11 16.33900   6.0
138 17.5690 2011-08-18 10.04300   6.0
139 17.3600 2011-08-25 11.87600   6.0
140 16.6180 2011-09-01 11.71000   6.0
141 16.1330 2011-09-08 11.84600   6.0
142 15.6770 2011-09-15 12.17800   6.0
143 15.1640 2011-09-22 11.90200   6.0
144 14.8160 2011-09-29 17.07200   6.0
145 15.0100 2011-10-06 13.21700   6.0
146 14.4410 2011-10-13 12.01300   6.0
147 13.0510 2011-10-20  3.75340   6.0
148 12.0580 2011-10-27  8.76700   6.0
149 11.6430 2011-11-03 13.96900   6.0
150 11.1400 2011-11-10 13.03200   6.0
151 10.5090 2011-11-17  8.26000   6.0
152  9.8690 2011-11-24 12.02100   6.0
153  8.9167 2011-12-01  9.64050   6.0
154  7.3953 2011-12-08  4.99180   6.0
155  6.5533 2011-12-15  3.73240   6.0
156  5.9886 2011-12-22 12.69300   6.0
157  6.3341 2011-12-29  7.12550   6.0
158  3.4249 2011-01-05  5.66070   8.0
159  3.4232 2011-01-12  4.42930   8.0
160  3.9632 2011-01-19  0.04384   8.0
161  3.9203 2011-01-26  5.33010   8.0
162  3.7569 2011-02-02  4.74030   8.0
163  4.6606 2011-02-09  6.48010   8.0
164  4.9632 2011-02-16  5.92770   8.0
165  4.9742 2011-02-23  7.15490   8.0
166  5.3302 2011-03-02  1.52250   8.0
167  5.3380 2011-03-09  6.46400   8.0
168  5.7341 2011-03-16  6.49500   8.0
169  6.1663 2011-03-23  4.01320   8.0
170  6.1420 2011-03-30 10.23300   8.0
171  7.1226 2011-04-06 12.10300   8.0
172  8.4905 2011-04-13  5.66120   8.0
173  8.7548 2011-04-20  7.94430   8.0
174  8.7160 2011-04-27  9.66080   8.0
175 10.1360 2011-05-04  5.13940   8.0
176  9.6597 2011-05-11 12.00800   8.0
177 12.8610 2011-05-18 13.42900   8.0
178 13.1300 2011-05-25  7.96200   8.0
179 13.6080 2011-06-01  8.94920   8.0
180 13.4880 2011-06-08 10.58700   8.0
181 13.6130 2011-06-15 14.82200   8.0
182 13.4320 2011-06-22 13.28300   8.0
183 13.3850 2011-06-29 10.09900   8.0
184 13.1230 2011-07-06 14.30500   8.0
185 13.2270 2011-07-13 13.44700   8.0
186 13.3370 2011-07-20 13.27900   8.0
187 13.4860 2011-07-27 16.17600   8.0
188 14.1970 2011-08-03 15.40500   8.0
189 14.0740 2011-08-10 11.20800   8.0
190 14.2160 2011-08-17 10.92000   8.0
191 14.7250 2011-08-24 13.57000   8.0
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400  5.8429 2011-08-27 12.14800  16.0
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594  5.5361 2011-05-17 12.02200  24.0
595  5.5549 2011-05-24  9.37830  24.0
596  5.5721 2011-05-31  7.85870  24.0
597  5.5697 2011-06-07  9.30420  24.0
598  5.5709 2011-06-14 10.07000  24.0
599  5.5695 2011-06-21 15.00500  24.0
600  5.5792 2011-06-28 13.74500  24.0
601  5.5783 2011-07-05 17.47700  24.0
602  5.5969 2011-07-12 15.32100  24.0
603  5.6055 2011-07-19 13.27000  24.0
604  5.6135 2011-07-26 11.90700  24.0
605  5.6078 2011-08-02 17.43300  24.0
606  5.6343 2011-08-09 13.26100  24.0
607  5.6386 2011-08-16 13.34400  24.0
608  5.6365 2011-08-23 16.62600  24.0
609  5.6493 2011-08-30 13.30700  24.0
610  5.6607 2011-09-06 14.72500  24.0
611  5.6561 2011-09-13 14.77800  24.0
612  5.6629 2011-09-20 15.70200  24.0
613  5.6921 2011-09-27 11.22700  24.0
614  5.6948 2011-10-04 13.29700  24.0
615  5.6826 2011-10-11 16.68600  24.0
616  5.7206 2011-10-18  7.88400  24.0
617  5.7105 2011-10-25 13.14200  24.0
618  5.6953 2011-11-01 13.24000  24.0
619  5.7325 2011-11-08 10.43400  24.0
620  5.7176 2011-11-15  9.17300  24.0
621  5.7275 2011-11-22  9.06990  24.0
622  5.7293 2011-11-29 12.74600  24.0
623  5.7733 2011-12-06  4.43310  24.0
624  6.7186 2011-12-13  9.05250  24.0
625  5.8346 2011-12-20  7.67070  24.0
626  5.9464 2011-12-27 10.47900  24.0

Antworten:


5

Was Sie haben, sind K (5) Gruppen, in denen Sie eine abhängige (Wassertemperatur) und eine unabhängige Reihe (Lufttemperatur) haben. Dieses Problem wird als gepoolte Querschnittszeitreihenanalyse bezeichnet. Erstellen Sie für jede der K-Gruppen ein separates ARMAX-Modell (Transfer Function). Identifizieren Sie ein gemeinsames Modell (ausreißerresistent), das angemessen wäre. Schätzen Sie dieses Modell global unter Verwendung aller Daten und führen Sie dann einen F-Test durch, um die Hypothese eines gemeinsamen Parametersatzes zu testen. Wenn Sie einen statistisch signifikanten F-Wert gefunden haben, untersuchen Sie die Koeffizienten, um festzustellen, welche Gruppen (des K) ähnlich sind. Meine aktuelle Forschung bestand darin, einen automatischen Test dafür zu entwickeln, und wir haben ihn in einer aktuellen Beta-Version von AUTOBOX ( http://www.autobox.com) betriebsbereit). Ich würde dies gerne für Sie demonstrieren, bitte posten Sie Ihre Daten. Wenn Sie herausfinden, wie AUTOBOX diesen Test durchführt, können Sie ihn möglicherweise selbst programmieren oder zumindest ein "Ziel" haben. Hoffe das hilft.

ZUSÄTZLICHE KOMMENTARE MIT KATE'S DATEN:

Ich nahm die ersten 4 Gruppen (Tiefe .5,4,6 und 8) und verwendete die ersten 52 Werte, um diese Beispielanalyse zu erstellen. Es folgen 4 Diagramme, die das Y (Wassertemperatur) und das X (Lufttemperatur) über die Zeit für die 4 Tiefen darstellen. Tiefe1; Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein;; Tiefe 2; Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein;; Tiefe 3; Geben Sie hier die Bildbeschreibung einund Tiefe 4; Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein. Eine Analyse der inneren Beziehung von Y zu X ergab ein typisches Modell der FormGeben Sie hier die Bildbeschreibung ein. Ich habe mich entschieden, dem Rauschen einen weiteren AR-Begriff hinzuzufügen, um einen allgemeineren Ausdruck zu erhalten. Alle vier Beispiele sind signifikant von Anomalien beeinflusst, so dass man argumentieren / vorschlagen könnte, mit ausreißerbereinigten Serien oder interventionell geschrubbten Serien, dh "gereinigten Serien", fortzufahren. Zu Präsentationszwecken wurde dies hier nicht durchgeführt. Wir haben nun das "typische Modell" für jeden der 4 Datensätze UND für das Komposit geschätzt. Dies ergab Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein. Der F-Test ist einfach der Chow-Test für konstante Parameter http://en.wikipedia.org/wiki/Chow_test, der ein signifikantes F ergab. Der Chow-Test summiert einfach den Fehler sos aus jedem der 4 Fälle (jeweils mit 52 Werten). und vergleicht es mit dem Fehler sos für den Verbund (208 Werte). Hoffe das hilft.


Vielen Dank für Ihre Kommentare. Meine Daten wurden der obigen Frage hinzugefügt.
KatyB

3

"Ähnlichkeit" ist problemabhängig. Nach dem, was Sie schreiben, habe ich das Gefühl, dass die Schätzung der Kreuzspektren und der Kohärenz ein guter Weg sein könnte, um fortzufahren, zumindest wenn Ihre Serien stationär und lang genug sind. Andere Referenzen, die ich zufällig zur Hand habe und die für Ihr Problem möglicherweise relevant sind oder nicht, sind:

Coke, Geoffrey und Tsao, Min (2010). Zufallseffekt-Mischungsmodelle zum Clustering elektrischer Lastreihen . Journal of Time Series Analysis 6: 451 & ndash; 464.

Warren Liao, T. (2005). Clustering von Zeitreihendaten - eine Umfrage . Pattern Recognition 11: 1857–1874.


1
Danke für die Bearbeitung! Ich wusste nicht, wie ich die Referenzen formatieren sollte. Es sieht jetzt viel schöner aus.
F. Tusell

0

Kreuzspektren sind nur die Fourier-Transformation der Kreuzkorrelationsfunktion. Die Kreuzkorrelation sollte bei Verzögerung 0 hoch sein und kann mit zunehmender Zeitdifferenz zwischen den Reihen abfallen. Dies sollte erfolgen, wenn beide Serien stationär sind. Wenn es Trends oder saisonale Temperaturänderungen gibt, können Sie Zeittrends oder Kosinusfunktionen an die beiden Reihen anpassen und nach Ähnlichkeiten in den Modellkoeffizienten suchen. Für stationäre Serien könnte das Gleiche für montierte ARMA-Modelle erfolgen. Haben die am besten passenden Serien die gleichen Ordnungen p und q? Wenn ja, wie nahe sind die Parameterschätzungen?


Es ist mir nicht klar, dass die Kreuzkorrelation in diesem speziellen Fall bei Verzögerung 0 hoch sein sollte. Ich würde erwarten, dass die Temperatur in tiefem Wasser gleichzeitig eine sehr geringe zeitliche Korrelation mit der Lufttemperatur aufweist - selbst wenn die wöchentlichen Beobachtungen Durchschnittswerte sind. Es kann der Fall sein, dass Korrelationen bei Verzögerungen, die sich von Null unterscheiden, größer sind. Ich würde erwarten, dass die Lufttemperatur die Wassertemperatur für relativ geringe Tiefen auf der wöchentlichen Zeitskala anführt.
F. Tusell

Der Wärmegehalt der gut gemischten oberen Wasserschicht sollte den Wärmefluss aus der Atmosphäre integrieren, der den Strahlungswärmefluss von der Sonne und den sensiblen und latenten Wärmefluss mit der Atmosphäre umfasst. Die Beziehung zwischen Luft- und Meerestemperatur könnte also recht komplex sein. Ich empfahl, die Zeitreihen sorgfältig zu betrachten, um zu sehen, was Ihr Auge heraussucht, bevor Sie statistische Analysen durchführen, und sich auch über Luft-Meer-Wärmeströme und die gemischte Schicht des Ozeans zu informieren. Besser noch, sprechen Sie mit jemandem, der daran arbeitet.
KAE
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