Wie kann man zeigen, dass diese Matrix positiv semidefinit ist?

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Lassen

K. = (\begin{matrix} {K.}_{11} & {K.}_{12} \\ {K.}_{21} & {K.}_{22} \end{matrix})

$K=\begin{pmatrix} K_{11} & K_{12}\\ K_{21} & K_{22} \end{pmatrix}$

werden , um eine symmetrische positive semidefinite reelle Matrix (PSD) mit . Dann für , $K_{12}=K_{21}^T$ $|r| \le 1$

{K.}^{*} = (\begin{matrix} {K.}_{11} & r {K.}_{12} \\ r {K.}_{21} & {K.}_{22} \end{matrix})

$K^*=\begin{pmatrix} K_{11} & rK_{12}\\ rK_{21} & K_{22} \end{pmatrix}$

ist auch eine PSD-Matrix. Die Matrizen und sind und bezeichnet die Transponierungsmatrix. Wie beweise ich das? $K$ $K^*$ $2 \times 2$ $K_{21}^T$

matrix linear-algebra

— jack 看看
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2

Ich denke, diese Frage braucht das Tag zum Selbststudium.

— Michael R. Chernick

Bitte füge das [self-study]Tag hinzu und lies das Wiki . Dann sagen Sie uns, was Sie bisher verstanden haben, was Sie versucht haben und wo Sie stecken bleiben. Wir geben Ihnen Tipps, wie Sie sich lösen können.

— Gung - Reinstate Monica

1

Wenn K 2x2 ist, bedeutet das, dass K_21 ein Skalar ist? Wenn ja, warum sprechen Sie über die Transponierung?

— Akkumulation

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Dies ist eine gute Gelegenheit, die Definitionen anzuwenden: Es sind keine fortgeschrittenen Theoreme erforderlich.

Um die Notation zu vereinfachen, für eine beliebige Anzahl läßt eine symmetrisch seine Blockmatrix. (Wenn Ihnen die Arbeit mit Blockmatrizen nicht vertraut ist, nehmen Sie zunächst an, dass , , , und Zahlen sind. In diesem Fall erhalten Sie eine allgemeine Vorstellung.) $\rho$

A (ρ) = (\begin{matrix} A & ρ B \\ ρ B^{'} & D \end{matrix})

$\mathbb{A}(\rho)=\pmatrix{A&\rho B\\\rho B^\prime&D}$

A

$A$

B

$B$

D

$D$

x

$x$

y

$y$

Wenn positiv semidefinit (PSD) ist, bedeutet dies lediglich, dass für alle Vektoren und geeignete Dimensionen haben $\mathbb{A}(\rho)$ $x$ $y$

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} 0 & \leq (\begin{matrix} x^{'} & y^{'} \end{matrix}) A (ρ) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} x^{'} & y^{'} \end{matrix}) (\begin{matrix} A & ρ B \\ ρ B^{'} & D \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \\ = x^{'} A x + 2 ρ y^{'} B^{'} x + y^{'} D y . \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{ 0 &\le \pmatrix{x^\prime&y^\prime} \mathbb{A}(\rho) \pmatrix{x\\y} \\ &= \pmatrix{x^\prime&y^\prime} \pmatrix{A&\rho B\\\rho B^\prime&D}\pmatrix{x\\y} \\ &=x^\prime A x + 2\rho y^\prime B^\prime x + y^\prime D y.\tag{1} }$

Dies müssen wir beweisen, wenn . $|\rho|\le 1$

Uns wird gesagt, dass $\mathbb{A}(1)$ PSD ist. Ich behaupte, dass auch PSD ist. Dies folgt durch Negieren von in Ausdruck : Da durch alle möglichen Vektoren reicht, reicht auch durch alle möglichen Vektoren und erzeugt $\mathbb{A}(-1)$ $y$ $(1)$ $\pmatrix{x\\y}$ $\pmatrix{x\\-y}$

\begin{aligned} 0 & \leq (\begin{matrix} x^{'} & - - y^{'} \end{matrix}) EIN (1) (\begin{matrix} x \\ - - y \end{matrix}) \\ = x^{'} EIN x + 2 (- - y)^{'} {B.}^{'} x + (- - y)^{'} D. (- - y) \\ = x^{'} EIN x + 2 (- - 1) y^{'} {B.}^{'} x + y^{'} D. y \\ = (\begin{matrix} x^{'} & y^{'} \end{matrix}) EIN (- - 1) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}), \end{aligned}

$\eqalign{ 0 &\le \pmatrix{x^\prime&-y^\prime}\mathbb{A}(1)\pmatrix{x\\-y} \\ &= x^\prime A x + 2(-y)^\prime B^\prime x + (-y)^\prime D (-y) \\ &= x^\prime A x + 2(-1)y^\prime B^\prime x + y^\prime D y \\ &= \pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(-1)\pmatrix{x\\y}, }$

zeigt, dass mit $(1)$ $\rho=-1.$

Beachten Sie, dass als linearer Interpolant der Extreme und ausgedrückt werden kann : $\mathbb{A}(\rho)$ $\mathbb{A}(-1)$ $\mathbb{A}(1)$

\begin{matrix} (2) & EIN (ρ) = \frac{1 - - ρ}{2} EIN (- - 1) + \frac{1 + ρ}{2} EIN (1) . \end{matrix}

$\mathbb{A}(\rho) = \frac{1-\rho}{2}\mathbb{A}(-1) + \frac{1+\rho}{2}\mathbb{A}(1).\tag{2}$

Wann sind beide Koeffizienten und nicht negativ. Da also beide $|\rho|\le 1$ $\color{blue}{(1-\rho)/2}$ $\color{blue}{(1+\rho)/2}$ als auch ${\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(1)\pmatrix{x\\y}}$ $\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(-1)\pmatrix{x\\y}$ sind nicht negativ, so ist die rechte Seite von

\begin{aligned} (\begin{matrix} x^{'} & y^{'} \end{matrix}) EIN (ρ) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \\ = (\frac{1 - - ρ}{2}) (\begin{matrix} x^{'} & y^{'} \end{matrix}) EIN (- - 1) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\frac{1 + ρ}{2}) (\begin{matrix} x^{'} & y^{'} \end{matrix}) EIN (1) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \\ \geq 0 (0) + 0 (0) = 0. \end{aligned}

$\eqalign{ &\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(\rho)\pmatrix{x\\y} \\ &= \color{blue}{\left(\frac{1-\rho}{2}\right)}\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(-1)\pmatrix{x\\y} + \color{blue}{\left(\frac{1+\rho}{2}\right)}\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(1)\pmatrix{x\\y} \\ &\ge \color{blue}{0}(0) + \color{blue}{0}(0) = 0. }$

(Ich verwende Farben, um Ihnen zu helfen, die vier beteiligten nicht negativen Begriffe zu erkennen.)

$x$ $y$ $(1)$ $\rho$ $|\rho|\le 1$

— whuber
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4

Das ist ziemlich schön in seiner Einfachheit :-)

— TenaliRaman

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Es gibt bereits eine großartige Antwort von @whuber, daher werde ich versuchen, anhand einiger Sätze einen alternativen, kürzeren Beweis zu liefern.

$A$ $Q$ $Q^TAQ$
$A$ $B$ $A + B$
$A$ $q > 0$ $qA$

Und nun:

\begin{aligned} {K.}^{*} & = (\begin{matrix} {K.}_{1, 1} & r {K.}_{1, 2} \\ r {K.}_{2, 1} & {K.}_{2, 2} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} {K.}_{1, 1} & r {K.}_{1, 2} \\ r {K.}_{2, 1} & r^{2} {K.}_{2, 2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & q {K.}_{2, 2} \end{matrix}), wo q = 1 - - r^{2} > 0 \\ = {(\begin{matrix} ich & 0 \\ 0 & r ich \end{matrix})}^{T.} (\begin{matrix} {K.}_{1, 1} & {K.}_{1, 2} \\ {K.}_{2, 1} & {K.}_{2, 2} \end{matrix}) (\begin{matrix} ich & 0 \\ 0 & r ich \end{matrix}) + q (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & {K.}_{2, 2} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align*} K^* &= \begin{pmatrix} K_{1,1} & rK_{1,2} \\ rK_{2,1} & K_{2,2} \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} K_{1,1} & rK_{1,2} \\ rK_{2,1} & r^2K_{2,2} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & qK_{2,2} \\ \end{pmatrix}, \text{ where $q = 1 - r^2 > 0$} \\ &= \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & rI \\ \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} K_{1,1} & K_{1,2} \\ K_{2,1} & K_{2,2} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & rI \\ \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & K_{2,2} \\ \end{pmatrix} \end{align*}$

$K$ $K_{2, 2}$

— Łukasz Grad
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q

$q$

r

$r$